BÀI TẬP ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO

     

Muốn giải được bài tập đạo hàm xuất sắc thì trước tiên chúng ta phải coi lại cách làm đạo hàm đã có học ở bài xích trước. Dựa vào định hướng đó bạn sẽ dễ dàng luyện được khả năng giải bài tập đạo hàm hiệu quả.

Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm lượng giác nâng cao

Bạn sẽ xem: bài bác tập đạo hàm vị giác nâng cao


*

Bài tập đạo hàm có lời giải

Bài tập 1: Hãy tính đạo hàm cơ bạn dạng sau $y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1$

Giải

Sử dụng cách làm đạo hàm ta có: $y’ = left( – x^3 + 3x + 1 ight)’ = 3x^2 – 6x + 2$

Bài tập 2: đến hàm số có chứa căn như sau $y = frac2x + 1x – 3$. Hãy tính đạo hàm

Giải

Vận dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: $y’ = frac(2x + 1)"(x – 3) – (x – 3)"(2x + 1)(x – 3)^2 = frac – 7(x – 3)^2$

Bài tập 3: cho 1 hàm số $f(x) = sqrt x^2 – x + 1 + sqrt x^2 + x + 1 $. Hãy tính đạo hàm

Giải

Sử dụng bí quyết đạo hàm của hàm đúng theo ta giải như sauTa có: $f"(x) = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 + frac2x + 12sqrt x^2 + x + 1 $Suy ra $f"(x) = 0 Leftrightarrow left( 1 – 2x ight)sqrt x^2 + x + 1 = left( 1 + 2x ight)sqrt x^2 – x + 1 $$eginarrayl Leftrightarrow left{ eginarrayl (1 – 2x)(1 + 2x) ge 0\ (1 – 2x)^2left = left( 1 + 2x ight)^2left endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarrayl – frac12 le x le frac12\ (1 – 2x)^2 = (1 + 2x)^2 endarray ight. Leftrightarrow x = 0 endarray$

Bài tập 4: mang đến hàm số $y = sin ^23x$. Hãy tính đạo hàm

Giải

Đây là hàm số lượng giác cần ta vận dụng công thức đạo hàm của hàm lượng giác suy ra

$y’ = 3sin 6x$

Bài tập 5: mang đến hàm con số giác $y = sqrt 3 an ^2x + cot 2x $. Hãy vận dụng công thức đạo hàm vị giác để tính đạo hàm

Giải

Vận dụng phương pháp đạo hàm lượng giác với hàm hợp:

Ta có: $y’ = frac3 an x(1 + an ^2x) – (1 + cot ^22x)sqrt 3 an ^2x + cot 2x $

Bài tập đạo hàm phân theo dạng

Dạng 1: Tính đạo hàm bởi định nghĩa

Bài tập 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, tất cả Δx là số gia của đối số trên x = 1, Δy là số gia tương xứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:

A. (Δx)2 + 2Δx

B. (Δx)2 + 4Δx

C. (Δx)2 + 2Δx – 3

D. 3

Giải

Đáp án: B

Δy = f(1 + Δx) – f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) – (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx

Đáp án B

Bài tập 2: Đạo hàm của những hàm số sau tại những điểm đang cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?

A. 1/2

B. 1

C. 0

D. 2

Giải


*

Bài tập 3: Đạo hàm của những hàm số sau tại những điểm vẫn cho: f(x) = 2x3 + 1 trên x = 2?

A. 10

B. 24

C. 22

D. 42

Giải

Đáp án: B

Ta có


*

Vậy chọn câu trả lời là B

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức

Bài tập 4: Đạo hàm của hàm số y = (2x4 – 3x2 – 5x)(x2 – 7x) bởi biểu thức nào bên dưới đây?

A. (8x3 – 6x – 5)(2x – 7)

B. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) – (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)

C. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x)+(2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)

D. (8x3 – 6x – 5) + (2x – 7)

Giải

Đáp án: C

Áp dụng công thưc đạo hàm hàm hơp (uv)’= u’v + uv’ ta có:

y’ = (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) + (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)

Chọn đáp án là C

Bài tập 5: Đạo hàm của hàm số f(t) = a3t4 – 2at2 + 3t – 5a bởi biểu thức như thế nào sau đây?

A. 4a3t3 – 4at + 3

B. 3a2t4 – 2t2 – 5

C. 12a2t3 – 4at – 2

D. 4a3t3 – 4at – 5

Giải

Đáp án: A

f"(t) = 4a3t3 – 4at + 3

Chọn giải đáp là A

Bài tập 6: Đạo hàm của hàm số f(x) = a3 – 3at2 – 5t3(với a là hằng số) bằng biểu thức nào sau đây?

A. 3a2 – 6at – 15t2

B. 3a2 – 3t2

C. -6at – 15t2

D. 3a2 – 3t2 – 6at – 15t2

Giải

Đáp án: C

f(t) = a3 – 3at2 – 5t3

f"(t) = -6at – 15t2

Chọn câu trả lời là C

Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài tập 7: Đạo hàm của hàm số:


*

*

Bài tập 9: Đạo hàm của hàm số y = 6(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) bằng biểu thức nào sau đây?

A. 24(sin3x + cos3x) – 24(sin5x + cos5x)

B. 24(sin3x – cos3x) – 24(sin5x + cos5x)

C. 2

D. 0

Giải

Đáp án: D

y’= 6(sin2x + cos2x)2 – 12sin2xcos2x – 4(sin2x + cos2x)2 + 12sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = 2

Dạng 4: Đạo hàm của hàm hợp

Bài tập 10. Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 5x+ 2)10.

A . 10( 5x+2)9 

B. 50( 5x+2)9 

C. 5( 5x+2)9 

D.(5x+2)9

Giải

Đạo hàm của hàm số đã mang đến là: y’=10.(5x+2)9.( 5x+2)’=50(5x+2)9

Chọn B.

Bài tập 11. Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 1- 3x2,)5 là:

A. -30x.(1-3x2 )4

B. -10x.(1-3x2 )4

C. 30(1-3x2 )4

D. -3x.(1-3x2 )4

Giải

Đặt u (x)= 1- 3×2 suy ra u (x)=( 1-3x2 )’=(1)’-3(x2 )’= -6x

Với u= 1-3×2 thì y= u5 suy ra y‘ (u)=5.u4=5.(1-3x2)4

Áp dụng bí quyết đạo hàm của hàm hợp ta có :

y‘ (x)= 5.(1-3x2 )4.(-6x)= -30x.(1-3x2 )4

Chọn A.

Bài tập 12. Tính đạo hàm của hàm số : y= ( x3+ x2 -1)2 ( 2x+1)2

A. Y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

B. Y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

C. Y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 4x+4)

D. Y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2-(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

Giải

áp dụng bí quyết đạo hàm của của hàm hợp cùng đạo hàm của một tích ta tất cả :

y’=2‘.(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.’

Hay y’=2( x3+ x2-1)( x3+ x2-1)’.(2x+1)2+

(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).(2x+1)’

⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).2

⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)

Dạng 5: Đạo hàm và những bài toán giải phương trình, bất phương trình

Bài tập 13. Cho hàm số y= 2x3 – 6x2+ 2000. Phương trình y’= 0 bao gồm mấy nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

+ Ta có đạo hàm: y’=6x2-12x

+ Để y’=0 thì 6x2-12x=0


Vậy phương trình y’= 0 tất cả hai nghiệm.

Chọn C.

Bài tập 14. Cho hàm số y= x4+ 2x3 – k.x2+ x- 10. Tìm kiếm k để phương trình y’=1 bao gồm một nghiệm là x= 1?

A. K= 5

B. K= -5

C. K= 2

D. K= – 3

Giải

+ Ta có đạo hàm: y’= 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1.

+ Để y’= 1 thì 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1 = 1

⇔ 4x3+ 6x2 – 2kx = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 bao gồm một nghiệm là x= 1 đề nghị phương trình (*) bao gồm một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0

⇔ k= 5.

Bài tập 15. Cho hàm số y= 2mx – mx3. Với rất nhiều giá trị như thế nào của m nhằm x= -1 là nghiệm của bất phương trình y" – 1

B. M 2

Bất phương trình y’ 2 2 - 1.

Xem thêm: Nêu Công Dụng Của Nhiệt Kế Thủy Ngân Là Gì? Dùng Để Làm Gì? Nên Mua Loại Nào?

Chọn A.

Dạng 6: Tính đạo hàm tại 1 điểm

Bài tập 16. Cho hàm số y= x3+ 2x2 – 2x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1

A. 5

B. – 2

C. 7

D. 10

Giải

Đạo hàm của hàm số đã cho rằng : y’= 3x2 +4x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số trên điểm x=1 là y’ ( 1)= 3. 12+ 4.1- 2= 5

Chọn A.

Bài tập 17. Cho hàm số y= 16√x+2x- x2. Tính đạo hàm của hàm số trên x= 4.

A. – 1

B. – 2

C. 0

D. 2

Giải

Tại các điểm x > 0 thì hàm số đang cho gồm đạo hàm cùng y’= 8/√x+2-2x

⇒ Đạo hàm của hàm số đã mang lại tại x= 4 là : y’ ( 4)= 8/√4+2-2.4= -2

Chọn B.

Bài tập 18. Cho hàm số y= ( 2x+ x2)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 1?

A. 0

B. 2

C. – 2

D .4

Giải

Hàm số đã cho xác minh với số đông x.

Đạo hàm của hàm số đã mang đến là:

y’=2( 2x+ x2 )( 2x+ x2 )’ = 2( 2x+ x2 )( 2+2x)

⇒Đạo hàm của hàm số tại x= -1 là y’( – 1) = 0.

Chọn A.

Dạng 7: Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác

Bài tập 19. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Kiếm tìm nghiệm của phương trình y’=0


Giải

Ta gồm đạo hàm: y’=3x2+ 3+ 3sin2x. Cosx

Với hồ hết x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin2 x.cosx ≥ – 3.sin2 x

⇒ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3- 3.sin2 x ⇔ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3.cos2x ( 1)

Lại gồm 3x2 ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) cùng ( 2) vế cùng vế ta có:

y’=3x2+ 3+ 3sin2x. Cosx ≥3x2+3cos2 x ≥0 với tất cả x.

Vậy với tất cả x ta luôn luôn có: y’ ≥0

Chọn C.

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lý Lớp 9 Bài 1, Please Wait

Hy vọng với những bài tập đạo hàm trên sẽ hữu ích cho các bạn. đông đảo góp ý cùng thắc mắc các bạn vui lòng để lại phản hồi dưới bài viết để tretrucvietsun.com ghi nhận cùng hỗ trợ.