BÀI TẬP KHAI TRIỂN HẰNG ĐẲNG THỨC

     

7 hằng đẳng thức đáng nhớ rằng một một trong những kiến thức có thể nói rằng quan trọng tuyệt nhất trong trương trình toán lớp 7 và những cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, bọn họ sẽ cùng đi tìm kiếm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng biến hóa tương đương của chúng. Hình như sẽ rèn luyện áp dụng những hằng đẳng thức vào làm hồ hết dạng bài tập cơ bản.

Bạn đang xem: Bài tập khai triển hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Cho nhị biểu thức A với B. Từ nhị biểu thức này, ta rất có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài bác tập vận dụng:

Bài tập 1: áp dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: áp dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ với rút gọn gàng biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số vào biểu thức B bởi hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: thực hiện hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh những biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Các dạng biến hóa cần giữ ý

Chú ý phép tính toán, nhân đối chọi thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, tiến hành hằng đẳng thức. Những bài toán yêu mong viết lại biểu thức. (Cần chú ý các nguyên tắc về nhân đối kháng đa thức và học trực thuộc 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ. Chú ý về dấu của số hạng cùng dấu của các phép toán.Có thể áp dụng các đặc thù về 7 hằng đẳng thức lưu niệm để kiếm tìm raBài tập về tìm giá bán trị bé dại nhất của một biểu thức. Bọn họ thực hiện tại bước trước tiên là thay đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = A² + B trong số ấy A là 1 trong biểu thức chứa trở nên và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc điểm về bình phương của đa số số thực luôn không âm nên luôn luôn luôn có A² ≥ 0 với tất cả giá trị của đổi mới số, vì thế A² + B ≥ B bắt buộc biểu thức có giá trị nhỏ dại nhất bởi B. Vệt = xảy ra khi A = 0.Bài tập về tìm giá chỉ trị lớn nhất của một biểu thức. Thay đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = -A² + B trong số ấy A là 1 trong biểu thức chứa biến và B là một trong những hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc thù về bình phương của mọi số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn luôn bao gồm A² ≥ 0 với đa số giá trị của thay đổi số, cho nên vì vậy -A² + B ≤ B bắt buộc biểu thức có mức giá trị lớn nhất bằng B. Vết = xẩy ra khi A=0.

Xem thêm: Cập Nhật: Đại Học Phí Đại Học Công Nghiệp Tp Hcm 2020, Học Phí Đại Học Công Nghiệp Tphcm 2022

Chú ý: phụ thuộc 7 hằng đẳng thức lưu niệm trên ta còn tồn tại thể biến hóa và suy ra những đẳng thức tương đương như sau:

*

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta rất có thể mở rộng lớn thêm các đẳng thức sau:

*

*

*

*

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết những biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= <(x + y) + (x – y)>2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= <(x – y + z) + (y – z)>2 = x2

Câu 5: Biết số thoải mái và tự nhiên a phân chia cho 5 dư 4. Minh chứng rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Xem thêm: Dung Dịch Dẫn Điện Tốt Nhất Là 0,1M, Dung Dịch Dẫn Điện Tốt Nhất

Lời giải:

Số tự nhiên a phân tách cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia mang đến 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, vậy x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)<(a – b)2 + ab> = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3