BÀI TẬP XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN

     

Với cách giải những dạng toán về Hàm số liên tiếp môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm cách thức giải đưa ra tiết, bài bác tập minh họa có giải thuật và bài tập trường đoản cú luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập những dạng toán về Hàm số liên tục lớp 11. Mời các bạn đón xem:


Hàm số liên tiếp và bí quyết giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Hàm số tiếp tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên K với x0∈K.

Bạn đang xem: Bài tập xét tính liên tục của hàm số có đáp án

- Hàm số y = f(x) liên tiếp tại x0 khi và chỉ còn khi limx→x0f(x)=f(x0).

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số cách quãng tại x0.

b) Hàm số thường xuyên trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) tiếp tục trên một khoảng tầm (a; b) nếu như nó thường xuyên tại phần đa điểm x0 của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) thường xuyên trên nếu như nó tiếp tục trên (a; b) vàlimx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b)

c) các định lý cơ bản

Định lý 1:

- Hàm số nhiều thức tiếp tục trên toàn cục tập R.

- các hàm số nhiều thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tiếp trên từng khoảng khẳng định của chúng.

Định lý 2: cho các hàm số y = f(x) với y = g(x) tiếp tục tại x0. Khi đó:

- những hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) tiếp tục tại x0.

- Hàm số y=fxgxliên tục tại x0 nếu như gx0≠0.

Định lý 3: đến hàm số y = f(x) thường xuyên trên với f(a).f(b) 2. Những dạng toán

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.

Bước 3: trường hợp f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

Nếu f2x0≠Lthì hàm số f(x) không tiếp tục tại x0.

(Đối với việc tìm tham số m để hàm số liên tiếp tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), search m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính thường xuyên của hàm số sau trên điểm x = - 1.

fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1

Lời giải

Hàm sẽ cho xác minh trên R.

Ta có: f(-1) = 3

limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3

Ta thấylimx→−1fx=f−1

Vậy hàm số liên tiếp tại x = - 1.

Ví dụ 2: cho hàm số: fx=x−1x−1khi  x≠1m2xkhi  x=1. Tra cứu m nhằm hàm số liên tiếp tại x = 1.

Lời giải

Hàm đang cho xác minh trên0;+∞

Ta có

f(1) = m2.

limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12

Để hàm số liên tiếp tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.

Vậy m=±22.

Loại 2: Xét tính thường xuyên của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi xx0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1:

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính số lượng giới hạn trái: limx→x0−fx=limx→x0−f2x=L1

Tính số lượng giới hạn phải:limx→x0+fx=limx→x0+f1x=L2

Bước 2:

Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái trên x0.

Nếu L = L2 thì hàm số tiếp tục bên buộc phải tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tiếp tại x0)

* Đối với câu hỏi tìm m nhằm hàm số tiếp tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1.

Xét tính liên tiếp của hàm số tại x = -1.

Lời giải

*

Ví dụ 2: mang lại hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Tìm kiếm m nhằm hàm số tiếp tục tại x = 1

Lời giải

*

Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính thường xuyên của hàm số tại các điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x12xkhi x≥1. Xét sự tiếp tục của hàm số.

Lời giải

Hàm số khẳng định và liên tục trên −∞;1và 1;+∞.

Xét tính liên tục tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

limx→1fx=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+12−x−1=limx→12−x+1=2

Ta thấy limx→1fx=f1nên hàm số thường xuyên tại x = 1.

Vậy hàm số tiếp tục trên R.

Ví dụ 2: đến hàm số fx=3−9−xx , 0x9m               , x=03x               , x≥9. Tìm kiếm m nhằm hàm số liên tục trên .

Lời giải

Với x∈0;9: fx=3−9−xxxác định và liên tiếp trên 0;9.

Với x∈9;+∞: fx=3xxác định và liên tục trên 9;+∞.

Với x = 9, ta cóf9=39=13=limx→9+fx

vàlimx→9−fx=limx→9−3−9−xx=3−9−99=13

Ta thấy limx→9−fx=limx→9+fx=f9nên hàm số liên tục tại x = 9.

Với x = 0 ta gồm f(0) = m.

limx→0+fx=limx→0+3−9−xx=limx→0+32−9+xx3+9−x=limx→0+13+9−x=16

Để hàm số tiếp tục trên thì hàm số phải liên tiếp tại x = 0

⇒limx→0+fx=f0⇔m=16.

Vậy m=16thì hàm số thường xuyên trên 0;+∞.

Dạng 3: chứng tỏ phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: đến hàm số y = f(x) tiếp tục trên cùng f(a).f(b) i; bi làm sao cho các khoảng tầm (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phương trình: x4−3x3+x−18=0 tất cả bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng chừng (-1; 3).

b) Phương trình 2x+61−x3=3có từng nào nghiệm.

Lời giải

a) Xét hàm số fx=x4−3x3+x−18liên tục trên <- 1; 3>.

Ta có: f−1=238;   f0=−18;   f12=116;     f1=−98;    f3=238

Ta thấy:

f(- 1).f(0) f0.f120, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc0;12

f12.f10, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc12;1

f(1).f(3) t=1−x3⇒x=1−t3. Lúc ấy phương trình sẽ cho tất cả dạng 2t3 – 6t + 1 = 0

Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 thường xuyên trên R

Ta có f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.

Ta thấy:

f(- 2).f(0) = - 3 t1∈(−2;0). Lúc đóx1=1−t13,x1∈(1;9).

f(0).f(1) = - 3 t2∈(0;1). Khi đóx2=1−t23,x2∈(0;1).

f(1).f(2) = - 15 t3∈(1;2). Khi đóx3=1−t33,x3∈(−7;0).

Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có tối thiểu 3 nghiệm trực thuộc (-2; 2).

Mà phương trình bậc 3 tất cả tối đa 3 nghiệm

Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm trực thuộc (-2; 2).

Vậy phương trình 2x+61−x3=3có ít nhất 3 nghiệm trực thuộc (-7; 9).

Ví dụ 2: minh chứng rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với tất cả m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 cùng f(- 1) = mét vuông + 1

nênf−1.f0=−m2+10,∀m∈ℝ

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm nhiều thức nên liên tiếp trên <-1; 0>

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trực thuộc (-1; 0).

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với đa số m.

3. Bài bác tập trường đoản cú luyện

Câu 1. đến hàm số f(x)=x−2x−4  khi  x≠414         khi  x=4.

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng nhất

A. Hàm số tiếp tục tại x = 4.

B. Hàm số thường xuyên tại đa số điểm bên trên tập khẳng định nhưng cách trở tại x = 4.

C. Hàm số không liên tiếp tại x = 4.

D. tất cả đều sai.

Câu 2. mang đến hàm sốfx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng nhất:

A. Hàm số liên tục tại x0 = -1.

B. Hàm số liên tiếp tại hầu hết điểm.

C. Hàm số gián đoạn tại x0 = -1.

D. tất cả đều sai.

Câu 3. đến hàm số f(x)=x+1+x−13x khi x≠02                   khi x=0

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số tiếp tục tại x0 = 0.

B. Hàm số thường xuyên tại số đông điểm nhưng đứt quãng tại x0 = 0.

C. Hàm số tiếp tục tại đa số điểm.

D. tất cả đều sai.

Câu 4. cho hàm số fx=x2−4. Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) thường xuyên tại x = 2.

(II) f(x) cách quãng tại x = 2.

(III) f(x) liên tiếp trên đoạn <-2; 2>.

A. Chỉ (I) với (III).

B. Chỉ (I).

C. Chỉ (II).

D. Chỉ (II) và (III).

Câu 5.

Xem thêm: Dàn Ý Và Bài Văn Thuyết Minh Về Chiếc Cặp Sách Văn 8, 9 Hay Nhất Năm

đến hàm số f(x)=x+2x2−x−6 . Khẳng định nào dưới đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tiếp trên R.

B. Hàm số tiếp tục tại các R-2; 3 cùng hàm số ngăn cách tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số liên tục tại x = -2; x = 3.

D. tất cả đều sai.

Câu 6. tìm m để các hàm sốf(x)=x−23+2x−1x−1  khi x≠13m−2              khi x=1 thường xuyên trên R

A. m = 1.

B. m=139.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 7. tìm m để các hàm sốf(x)=x+1−1x    khi x>02x2+3m+1  khi x≤0 thường xuyên trên R.

A. m = 1.

B.m=−16.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 8. mang đến hàm sốf(x)=x+73−3x+1x−1khi x≠1axkhi x=1

Tìm a nhằm hàm số tiếp tục tại x0 = 1.

A. −23.

B. 2.

C. −32.

D. -2.

Câu 9. mang lại hàm số fx=a2x2        khi  x≤2,a∈ℝ2−ax2 khi  x>2.

Giá trị của a nhằm f(x) thường xuyên trên R là:

A. 1 hoặc 2.

B. 1 hoặc -1.

C. -1 hoặc 2.

D. 1 hoặc -2.

Câu 10. mang đến hàm số fx=x2−3x−3 khi x≠323      khi x=3.

Tìm xác định đúng trong các xác minh sau:

(I). F(x) liên tiếp tại x=3

(II). F(x) gián đoạn tại x=3

(III). F(x) liên tục trên R

A. Chỉ (I) với (II).

B. Chỉ (II) cùng (III).

C. Chỉ (I) và (III).

D. Cả (I),(II),(III) các đúng.

Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các xác định sau:

I. F(x) tiếp tục trên đoạn cùng f(a).f(b)fa.fb≥0thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I cùng II đúng.

D. Cả I cùng II sai.

Câu 12. cho phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn xác định đúng vào các xác minh sau:

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong vòng (-1; 1).

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong vòng (-2; 0).

C. Phương trình (1) chỉ tất cả một nghiệm trong vòng (-2; 1).

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong tầm (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng tầm (- 2; 2) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 14. mang lại phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong các số đó a, b, c là những tham số thực. Chọn xác minh đúng trong các xác định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với đa số a, b, c.

B. Phương trình (1) có tối thiểu một nghiệm với tất cả a, b, c.

C. Phương trình (1) có tối thiểu hai nghiệm với đa số a, b, c.

D. Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c.

Xem thêm: So Sánh Virus Và Vi Khuẩn Là Gì? Phân Biệt Virus Và Vi Khuẩn?

Câu 15. mang đến hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 tất cả nghiệm thuộc khoảng chừng nào trong những khoảng sau đây?