Bí Kíp Giải Hệ Phương Trình

     

Trong công tác lớp 9, phương trình số 1 2 ẩn có 2 cách thức để giải, đó là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, gồm sự khác hoàn toàn nào về ưu điểm yếu của 2 phương thức này.

Bạn đang xem: Bí kíp giải hệ phương trình


Trong bài viết này, chúng ta thuộc tìm hiểu 2 phương pháp giải trên so với phương trình số 1 2 ẩn. Giải những bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với từng cách thức cộng đại số và phương thức thế, đồng thời khám phá các dạng toán về phương trình bậc nhất 2 ẩn, từ đó nhằm thấy ưu thế của mỗi phương pháp và áp dụng linh hoạt trong những bài toán vậy thể.

I. Nắm tắt định hướng về phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Phương trình hàng đầu 2 ẩn

- Phương trình hàng đầu hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình số 1 hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn bao gồm vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được trình diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ dùng thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình biến đổi ax = c hay x = c/a và mặt đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng cùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình biến by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ nhì phương trình số 1 hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

*
 , trong kia a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- điện thoại tư vấn (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi ấy ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) giảm (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ tất cả vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ nhì phương trình tương đương với nhau nếu như chúng bao gồm cùng tập nghiệm

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình số 1 2 ẩn bằng phương thức cộng đại số

a) Quy tắc cùng đại số

- Quy tắc cùng đại số cần sử dụng để biến hóa một hệ phương trình thành hệ phương trình tương tự gồm nhị bước:

- bước 1: cùng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã mang lại để được một phương trình mới.

- cách 2: cần sử dụng phương trình new ấy thay thế sửa chữa cho một trong hai phương trình của hệ (và không thay đổi phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số.

- bước 1: Nhân những vế của nhì phương trình cùng với số thích hợp (nếu cần) làm thế nào để cho các hệ số của một ẩn nào đó trong nhị phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

- cách 2: sử dụng quy tắc cùng đại số để được hệ phương trình mới, trong số đó có một phương trình mà hệ số của 1 trong những hai ẩn bởi 0 (tức là phương trình một ẩn).

- bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải những hệ PT hàng đầu 2 ẩn khuất phía sau bằng PP cùng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình số 1 2 ẩn bằng cách thức thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc núm dùng để đổi khác một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Phép tắc thế bao hàm hai bước sau:

- bước 1: xuất phát từ 1 phương trình của hệ đã đến (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn cơ rồi cầm vào phương trình thức hai để được một phương trình bắt đầu (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: sử dụng phương trình new ấy để thay thế cho phương trình thức nhị trong hệ (phương trình thức tốt nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức màn biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở cách 1).

Xem thêm: Cây Atm Có Biểu Tượng Visa, Thẻ Visa Rút Tiền Ở Đâu Là Thuận Tiện Nhất

b) Cách giải hệ phương trình bằng cách thức thế

- cách 1: dùng quy tắc cụ để đổi khác phương trình đã đến để được một hệ phương trình mới, trong những số ấy có một phương trình một ẩn.

- bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một trong những dạng toán phương trình bậc nhất 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng cách thức thế

* Phương pháp: xem phần bắt tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm nhất (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất (25/19;-21/19)

* thừa nhận xét: Qua bài bác 12 này, những em thấy cách thức thế sẽ sử dụng thuận tiện hơn khi 1 trong các phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là một trong hoặc -1. Lúc đó chỉ cần rút x hoặc y làm việc phương trình có hệ số là một trong những hoặc -1 này và nắm vào phương trình còn sót lại để giải hệ.

- Đối với những hệ PT trình mà không tồn tại hệ số nào của x cùng y là một trong những hoặc -1 thì việc sử dụng cách thức thế làm phát sinh các phân số và bài toán cộng trừ dễ làm cho ta không đúng sót hơn như bài 13 bên dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương thức thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất vô nhị (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

* Phương pháp: xem phần bắt tắt lý thuyết

Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ PT sau bởi PP cộng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* giải thuật bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: mang PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: rước PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm tuyệt nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) với 2 để hệ số của x ở 2 PT bằng nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm duy nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất vô nhị (5;3)

* nhận xét: khi không có ngẫu nhiên hệ số nào của x, y là một hay -1 thì cách thức cộng đại số giúp những em đỡ nhầm lẫn rộng trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách thức đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- bước 1: Đặt đk để hệ tất cả nghĩa

- bước 2: Đặt ẩn phụ và đk của ẩn phụ

- cách 3: Giải hệ theo các ẩn phụ sẽ đặt (sử dụng pp cầm cố hoặc pp cộng đại số)

- bước 4: quay trở về ẩn lúc đầu để tìm kiếm nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt: 

*
 ta bao gồm hệ ban đầu trở thành:

 

*

- quay lại ẩn ban đầu x và y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, phải hệ bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 với y ≠ 3 (mẫu số không giống 0)

 Đặt: 

*
 ta gồm hệ thuở đầu trở thành:

*

 Trở lại ẩn ban sơ x và y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, đề nghị hệ gồm nghiệm tuyệt nhất (-5/4;6)

Dạng 4: xác minh tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm đó là nghiệm của hệ được tạo vị 2 phương trình mặt đường thẳng đã cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 với d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 với d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng một trong 2 cách thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 với d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Sử Dụng Heading Trong Word 2010, Cách Tạo Heading Trong Word 2010

Dạng 5: Giải với biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ xuất phát từ 1 phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương thức thế) rồi thay vào phương trình còn sót lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện quá trình biện luận như sau:

- ví như a ≠ 0, thì x = b/a; nuốm vào biểu thức nhằm tìm y; hệ gồm nghiệm duy nhất.

- nếu a = 0, ta có, 0.x = b:

_ nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

_ giả dụ b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- trường đoản cú PT(1) ta có: y = mx - 2m, cụ vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* trường hợp m ≠ ±1, ta có: 

*

khi đó: 

*

⇒ Hệ bao gồm nghiệm duy nhất: 

* giả dụ m = -1, nạm vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* trường hợp m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)