Biện luận bất phương trình bậc 2

     

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán thường gặp mặt liên quan cho bất phương trình bậc nhị trong công tác Đại số 10 chương 4.

Bạn đang xem: Biện luận bất phương trình bậc 2

A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG1. Định nghĩa và giải pháp giải bất phương trình bậc hai+ Bất phương trình bậc hai (ẩn $x$) là bất phương trình bao gồm một trong những dạng $fleft( x ight)>0$, $f(x)+ Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.2. Ứng dụng giải toán: Giải bất phương trình tích, yêu mến chứa những tam thức bậc hai bằng phương pháp lập bảng xét dấu.

B. CÁC DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAIDạng toán 1. Giải bất phương trình bậc hai.Ví dụ 1. Giải những bất phương trình sau:a) $-3x^2+2x+1b) $x^2+x-12c) $5x^2-6sqrt5x+9>0.$d) $-36x^2+12x-1ge 0.$

a) Tam thức $f(x)=-3x^2+2x+1$ bao gồm $a=-3($f(x)$ cùng dấu với thông số $a$).Suy ra $-3x^2+2x+11.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=(-infty ;-frac13)cup (1;+infty ).$b) Tam thức $fleft( x ight)=x^2+x-12$ gồm $a=1>0$ và có hai nghiệm $x_1=-4$, $x_2=3.$($f(x)$ trái vết với thông số $a$).Suy ra $x^2+x-12Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ extS=left( -4;3 ight).$c) Tam thức $fleft( x ight)=5x^2-6sqrt5x+9$ tất cả $a=5>0$ với $Delta =0.$($f(x)$ thuộc dấu với thông số $a$).Suy ra $5x^2-6sqrt5x+9>0$ $Leftrightarrow x e frac3sqrt55.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ extS=mathbbRackslash left frac3sqrt55 ight.$d) Tam thức $fleft( x ight)=-36x^2+12x-1$ gồm $a=-36$fleft( x ight)$ âm cùng với $forall x e frac16$ và $fleft( frac16 ight)=0.$Suy ra $-36x^2+12x-1ge 0$ $Leftrightarrow x=frac16.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ extS=left frac16 ight.$

Ví dụ 2. Kiếm tìm $m$ để phương trình sau bao gồm nghiệm:a) $x^2-mx+m+3=0.$b) $(1+m)x^2-2mx+2m=0.$

a) Phương trình bao gồm nghiệm khi còn chỉ khi $Delta ge 0$ $Leftrightarrow m^2-4left( m+3 ight)ge 0$ $Leftrightarrow m^2-4m-12ge 0$ $Leftrightarrow left< eginmatrixmge 6 \mle -2 \endmatrix ight.$Vậy cùng với $min (-infty ;-2>cup <6;+infty )$ thì phương trình có nghiệm.b)+ với $m=-1$ phương trình đổi mới $2x-2=0$ $Leftrightarrow x=1$ suy ra $m=-1$ vừa lòng yêu cầu bài xích toán.+ với $m e -1$ phương trình gồm nghiệm khi và chỉ khi $Delta’ ge 0$ $Leftrightarrow m^2-2mleft( 1+m ight)ge 0$ $Leftrightarrow m^2+2mle 0$ $Leftrightarrow -2le mle 0.$Vậy cùng với $-2le mle 0$ thì phương trình gồm nghiệm.

Xem thêm: Các Loại Phô Mai Cho Bé 6 Tháng Tuổi, Khi Nào Trẻ Nhỏ Có Thể Ăn Phô Mai

Ví dụ 3. Tra cứu $m$ để rất nhiều $xin left< -1;1 ight>$ đông đảo là nghiệm của bất phương trình $3x^2-2left( m+5 ight)x-m^2+2m+8le 0.$

Ta tất cả $3x^2-2left( m+5 ight)x-m^2+2m+8=0$ $Leftrightarrow x=m+2$ hoặc $x=frac4-m3.$+ với $m+2>frac4-m3$ $Leftrightarrow 3m+6>4-m$ $Leftrightarrow m>-frac12$, ta có:Bất phương trình $Leftrightarrow frac4-m3le xle m+2.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $left< frac4-m3;m+2 ight>.$Suy ra các $xin left< -1;1 ight>$ đều là nghiệm của bất phương trình khi còn chỉ khi $left< -1;1 ight>subset left< frac4-m3;m+2 ight>$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix-1ge frac4-m3 \1le m+2 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixmge 7 \mge -1 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow mge 7.$Kết hợp với điều khiếu nại $m>-frac12$ ta tất cả $mge 7$ vừa lòng yêu cầu bài xích toán.+ cùng với $m+2Bất phương trình $Leftrightarrow m+2le xle frac4-m3.$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $left< m+2;frac4-m3 ight>.$Suy ra các $xin left< -1;1 ight>$ các là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $left< -1;1 ight>subset left< m+2;frac4-m3 ight>$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix-1ge m+2 \1le frac4-m3 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixmle -3 \mle 1 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow mle -3.$Kết phù hợp với điều kiện $m+ cùng với $m=-frac12$ ta bao gồm bất phương trình $Leftrightarrow x=frac32$ đề nghị $m=-frac12$ không thỏa mãn nhu cầu yêu cầu bài toán.Vậy $min (-infty ;-3>cup <7;+infty )$ là giá trị buộc phải tìm.

Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình $(m+1)x^2-2(2m-1)x-4m+2Với $m e -1$ ta gồm $g(x)=(m+1)x^2-2(2m-1)x-4m+2$ là tam thức bậc nhị có: $a=m+1$ $Delta’=8m^2-2m-1.$Bảng xét dấu:

*

+ Xét $-frac14le mle frac12$ $Rightarrow left{ eginalign& a>0 \& Delta’le 0 \endalign ight.$ $Rightarrow g(x)ge 0$, $forall xin R$ $Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm.+ Xét $left< eginalign& m>frac12 \& -1endalign ight.$ $Rightarrow left{ eginalign& a>0 \& Delta’>0 \endalign ight.$ $Rightarrow $ $S=(x_1;x_2)$, với: $x_1=frac2m-1-sqrt(2m-1)(m+1)m+1$, $x_2=frac2m-1+sqrt(2m-1)(m+1)m+1.$+ Xét $m& a& Delta’>0 \endalign ight.$ $Rightarrow $ $S=(-infty ;x_1)cup (x_2;+infty ).$Kết luận:$m=-1$ bất phương trình gồm tập nghiệm là $ extS=left( -infty ;-1 ight).$$-frac14le mle frac12$ bất phương trình tất cả tập nghiệm là $ extS=varnothing .$$left< eginalign& m>frac12 \& -1endalign ight.$ bất phương trình tất cả tập nghiệm là $S=(x_1;x_2).$$mDạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc nhì một ẩn.Ví dụ 5. Giải các hệ bất phương trình sau:a) $left{ eginalign& 2x^2+9x+7>0 \& x^2+x-6endalign ight.$b) $left{ eginalign& 2x^2+x-6>0 \& 3x^2-10x+3ge 0 \endalign ight.$c) $left{ eginmatrix-x^2+5x-4ge 0 \x^2+x-13le 0 \endmatrix ight.$d) $left{ eginalign& x^2+4x+3ge 0 \& 2x^2-x-10le 0 \& 2x^2-5x+3>0 \endalign ight.$

a) Ta gồm $left{ eginalign& 2x^2+9x+7>0 \& x^2+x-6endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixleft< eginmatrixxge -1 \xle -frac72 \endmatrix ight. \-3endmatrix ight.$ $Leftrightarrow -1Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left( -1;2 ight).$b) Ta tất cả $left{ eginalign& 2x^2+x-6ge 0 \& 3x^2-10x+3>0 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixleft< eginmatrixxge frac32 \xle -2 \endmatrix ight. \left< eginmatrixx>3 \xendmatrix ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left< eginmatrixx>3 \xle -2 \endmatrix ight.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=(-infty ;-2>cup (3;+infty ).$c) Ta tất cả $left{ eginmatrix-x^2+5x-4ge 0 \x^2+x-13le 0 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix1le xle 4 \frac-1-sqrt532le xle frac-1+sqrt532 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow 1le xle frac-1+sqrt532.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left< 1;frac-1+sqrt532 ight>.$d) Ta gồm $left{ eginalign& x^2+4x+3ge 0 \& 2x^2-x-10le 0 \& 2x^2-5x+3le 0 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& left< eginmatrixxge -1 \xle -3 \endmatrix ight. \& -2le xle frac52 \& 1le xle frac32 \endalign ight.$ $Leftrightarrow 1le xle frac32.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left< 1;frac32 ight>.$

Ví dụ 6. Cho hệ bất phương trình $left{ eginmatrixmx^2-x-5le 0 \left( 1-m ight)x^2+2mx+m+2ge 0 \endmatrix ight.$a) Giải hệ bất phương trình khi $m=1.$b) tìm kiếm $m$ nhằm hệ bất phương trình nghiệm đúng với tất cả $x.$

a) lúc $m=1$ hệ bất phương trình trở thành:$left{ eginmatrixx^2-x-5le 0 \2x+3ge 0 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixfrac1-sqrt212le xle frac1+sqrt212 \xge -frac32 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow frac1-sqrt212le xle frac1+sqrt212.$Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left< frac1-sqrt212;frac1+sqrt212 ight>.$b)+ khi $m=0$ hệ bất phương trình biến $left{ eginmatrix-x-5le 0 \x^2+2ge 0 \endmatrix ight.$ vì thế $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.+ lúc $m=1$ theo câu a ta thấy cũng không vừa lòng yêu cầu bài toán.+ khi $left{ eginmatrixm e 0 \m e 1 \endmatrix ight.$ ta gồm hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi các bất phương trình vào hệ bất phương trình nghiệm đúng với tất cả $x.$$Leftrightarrow left{ eginmatrixleft{ eginmatrixmDelta _1=1+20mle 0 \endmatrix ight. \left{ eginmatrix1-m>0 \Delta ‘_2=m^2-left( 1-m ight)left( m+2 ight)le 0 \endmatrix ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& m& mle -frac120 \& m& 2m^2+m-2le 0 \endalign ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& m& mle -frac120 \& m& frac-1-sqrt174le mle frac-1+sqrt174 \endalign ight.$ $Leftrightarrow frac-1-sqrt174le mle -frac120.$Vậy $frac-1-sqrt174le mle -frac120$ là giá bán trị đề nghị tìm.

Xem thêm: 8 Tựa Game Nhiều Người Chơi Nhất 2020, Top 10 Game Pc Nhiều Người Chơi Nhất Năm 2020

Dạng toán 3. Giải bất phương trình tích và bất phương trình cất ẩn ở mấu thức.Ví dụ 7. Giải những bất phương trình:a) $left( 1-2x ight)left( x^2-x-1 ight)>0.$b) $x^4-5x^2+2x+3le 0.$

a) Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta gồm tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $ mS = left( – infty ;frac1 – sqrt 5 2 ight) cup left( frac12;frac1 + sqrt 5 2 ight).$b) Bất phương trình tương đương $(x^4-4x^2+4)-(x^2-2x+1)le 0$ $Leftrightarrow (x^2-2)^2-(x-1)^2le 0$ $Leftrightarrow (x^2+x-3)(x^2-x-1)le 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=left< frac-1-sqrt132;frac1-sqrt52 ight>cup left< frac-1+sqrt132;frac1+sqrt52 ight>.$

Ví dụ 8. Giải các bất phương trình:a) $fracx^2-1left( x^2-3 ight)left( -3x^2+2x+8 ight)>0.$b) $x^2+10le frac2x^2+1x^2-8.$

a) Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta tất cả tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=left( -sqrt3;-frac43 ight)cup left( -1;1 ight)cup left( sqrt3;2 ight).$b) Ta có: $x^2 + 10 le frac2x^2 + 1x^2 – 8$ $ Leftrightarrow frac2x^2 + 1x^2 – 8 – left( x^2 + 10 ight) ge 0$ $ Leftrightarrow frac2x^2 + 1 – left( x^2 – 8 ight)left( x^2 + 10 ight)x^2 – 8 ge 0$ $ Leftrightarrow frac81 – x^4x^2 – 8 ge 0$ $ Leftrightarrow fracleft( 9 – x^2 ight)left( 9 + x^2 ight)x^2 – 8 ge 0$ $ Leftrightarrow frac9 – x^2x^2 – 8 ge 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=<-3;-2sqrt2)cup (2sqrt2;3>.$

Ví dụ 9. Giải bất phương trình sau:a) $frac-2x^2-x-1ge 0.$b) $fracsqrtx^2+1-sqrtx+1x^2+sqrt3x-6le 0.$

a) vì chưng $left| x^2-x ight|+2>0$ buộc phải $fracleftx^2-x-1ge 0$ $Leftrightarrow frac x^2-x ightx^2-x-1ge 0$ $Leftrightarrow fracleft( x^2-x-2 ight)left( x^2-x+2 ight)x^2-x-1ge 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét dấu, ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình đã mang lại là: $S=(-infty ;-1>cup left( frac1-sqrt52;frac1+sqrt52 ight)cup <2;+infty ).$b) Điều kiện xác định: $left{ eginmatrixx+1ge 0 \x^2+sqrt3x-6 e 0 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxge -1 \eginalign& x e sqrt3 \& x e -2sqrt3 \endalign \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxge -1 \x e sqrt3 \endmatrix ight.$Vì $sqrt x^2 + 1 + sqrt x + 1 > 0$ nên $fracsqrt x^2 + 1 – sqrt x + 1 x^2 + sqrt 3 x – 6 le 0$ $ Leftrightarrow fracleft( sqrt x^2 + 1 – sqrt x + 1 ight)left( sqrt x^2 + 1 + sqrt x + 1 ight)x^2 + sqrt 3 x – 6 le 0$ $ Leftrightarrow fracx^2 – xx^2 + sqrt 3 x – 6 le 0.$Bảng xét dấu:

*

Dựa vào bảng xét lốt và so sánh điều kiện, ta gồm tập nghiệm của bất phương trình đã mang đến là: $S=left< -1;0 ight>cup <1;sqrt3).$

Ví dụ 10. Tìm kiếm $m$ nhằm bất phương trình $sqrtx-m^2-mleft( 3-fracx+1x^3-x^2-3x+3 ight)3-fracx+1x^3-x^2-3x+3x>m^2+m \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixfracleft( x-2 ight)left( 3x^2+3x-4 ight)left( x-1 ight)left( x^2-3 ight)x>m^2+m \endmatrix ight.$Bảng xét dấu:

*

Tập nghiệm của bất phương trình $fracleft( x-2 ight)left( 3x^2+3x-4 ight)left( x-1 ight)left( x^2-3 ight)Do kia bất phương trình vẫn cho tất cả nghiệm khi và chỉ còn khi: $Leftrightarrow m^2+mVậy $-2Dạng toán 4. Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc nhì trong chứng tỏ bất đẳng thức và tìm giá bán trị béo nhất, nhỏ nhất.Ví dụ 11. Cho hai số thực $x$, $y$. Chứng minh rằng $3x^2+5y^2-2x-2xy+1>0.$

Viết bất đẳng thức lại bên dưới dạng $3x^2-2(y+1)x+5y^2+1>0.$Đặt $f(x)=3x^2-2(y+1)x+5y^2+1$ và xem $y$ là tham số lúc ấy $fleft( x ight)$ là tam thức bậc nhì ẩn $x$ có hệ số $a_x=3>0$ và $Delta _x’=(y+1)^2-3(5y^2+1)$ $=-14y^2+2y-2.$Xét tam thức $gleft( y ight)=-14y^2+2y-2$ có hệ số $a_y=-14Suy ra $Delta ‘_xDo đó $fleft( x ight)Ví dụ 12. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài cha cạnh của một tam giác và $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $a^2x+b^2y+c^2z=0$. Chứng minh rằng: $xy+yz+zxle 0.$

+ nếu trong bố số $x$, $y$, $z$ có một vài bằng $0$, chẳng hạn $x=0$ $Rightarrow b^2y=-c^2z.$Suy ra $xy+yz+zx=yz=-fracc^2b^2z^2le 0.$+ ví như $x,y,z e 0$. Do $a^2x+b^2y+c^2z=0$ $Rightarrow x=-fracb^2y+c^2za^2.$Suy ra $ xy+yz+zxle 0$ $Leftrightarrow -(y+z)fracb^2y+c^2za^2+yzle 0$ $Leftrightarrow f(y)=b^2y^2+(b^2+c^2-a^2)yz+c^2z^2ge 0$.Tam thức $f(y)$ bao gồm $Delta _y=left< (b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2 ight>z^2.$Vì $left{ eginalign& |b-c|& b+c>a \endalign ight.$ $Rightarrow -2bc