Các Công Thức Tính Giới Hạn Trong Toán Cao Cấp

     

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và cải thiện các kiến thức và kỹ năng về hàm số một biến đổi số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số.Bạn đã xem: các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

chỉ dẫn học • Đây là bài học nhằm mục tiêu ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học sẽ học vào chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các định hướng về hàm số....


Bạn đang xem: Các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

*

bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng mục tiêu • phát âm được định nghĩa hàm số, giới hạn, sựBạn cần học cùng làm bài tập của bài bác nàytrong nhì tuần, mỗi tuần khoảng tầm 3 cho 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tiếp • Áp dụng phần mềm toán để giám sát và đo lường với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở những kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài xích này là ôn tập, hệ thốnghóa và cải thiện các kỹ năng và kiến thức về hàm số một trở nên số: Giới hạn, tính liên tiếp củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài bác học nhằm mục đích ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học vẫn học trong chương trình ít nhiều nên bạn phải đọc kỹ lại các triết lý về hàm số, giới hạn.• sau khoản thời gian đọc kỹ định hướng bạn phải làm bài xích tập càng nhiều càng giỏi để củng vậy và cải thiện kiến thức. 1 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một đổi thay số1.1.1. Định nghĩa hàm số một phát triển thành số đến X là tập phù hợp khác trống rỗng của R . Ta gọi ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một thay đổi số bên trên tập đúng theo X , trong số ấy x là đổi mới số độc lập, y là đại lượng nhờ vào hay hàm số của x . Tập đúng theo X điện thoại tư vấn là miền xác minh của hàm số f . Tập thích hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X call là miền quý hiếm của f nếu như hàm số một thay đổi số đến trong dạng biểu thức: y = f (x) cơ mà không nói gì thêm thì ta gọi miền xác minh của hàm số là tập hợp phần đa giá trị thực của đổi mới số x tạo nên biểu thức có nghĩa. Lấy ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác minh khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Cho nên vì vậy miền xác minh của hàm số y = 1 − x 2 là . Dễ ợt thấy rằng miền cực hiếm của hàm y là . Miền khẳng định của một hàm số rất có thể gồm những tập nhỏ rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một phép tắc riêng để khẳng định giá trị của hàm số. Hàm số hoàn toàn có thể được xác định bởi những công thức không giống nhau tùy trực thuộc vào quý giá của biến. Lấy ví dụ như 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x lúc x bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp những điểm tránh rạc, cũng hoàn toàn có thể gồm một vài cung ngay thức thì Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x lúc 0 1 ⎩2 Hình 1.1 việc vẽ demo đồ thị của hàm số f cùng với miền xác định là một khoảng chừng số thực hay được xác định theo trình tự như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,..., x n trường đoản cú miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng ngay sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của trang bị thị hàm số. Phương pháp vẽ như bên trên không hoàn toàn đúng mực mà chỉ cho dáng vẻ của vật thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự dựa vào của cực hiếm của hàm số và biến hóa số. Nhìn vào trang bị thị có thể dễ dàng quan ngay cạnh xu hướng biến đổi của quý hiếm hàm số khi biến tự do thay đổi.1.1.3. Hàm số 1-1 điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số đối kháng điệu Hàm số f (x) xác minh trong khoảng (a, b) • Được call là đơn điệu tăng trong vòng (a, b) nếu với đa số x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp (Nếu điều kiện trên vẫn đúng vào lúc bỏ vệt đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f sút ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là 1-1 điệu trên (a, b) giả dụ nó chỉ 1-1 điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong vòng này. Đồ thị của hàm số tăng là 1 trong những đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số bớt là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , ví dụ điển hình khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhấn trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm trọng điểm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được hotline là tuần hoàn trên miền khẳng định D (thông hay xét D ≡ R ) ví như tồn tại số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D cùng f (x + p) = f (x). Số p. Gọi là chu kỳ của hàm f . 5 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một vài dương nhỏ nhất – cam kết hiệu vị T – thì T được hotline là chu kỳ cơ phiên bản của f . Lấy ví dụ 5: các hàm sin x, cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx các tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 hơn nữa các chu kỳ luân hồi nói trên các là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , trả sử mãi mãi số dương T bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Hàm số g đổi mới x thành y theo phép tắc trên điện thoại tư vấn là (hàm số) đúng theo của nhị hàm f cùng ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong giải pháp ký hiệu trên, hàm nào che khuất lại có ảnh hưởng tác động trước đến biến chuyển x ). Lấy ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm thích hợp của nhị hàm y = u 5 và u = sin x . Giải pháp nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm f (x) = x 5 với ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) gồm miền khẳng định X , miền cực hiếm Y = f (X) . Nếu như với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại duy nhất x 0 ∈ X nhằm f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm nhất trong X ) thì quy tắc đổi thay mỗi số y ∈ Y thành nghiệm nhất của phương trình f (x) = y là một hàm số đi tự Y mang lại X hotline là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ ợt thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy ví dụ như 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) tất cả hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) gồm hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • những hàm lượng giác quen thuộc thuộc đều có hàm ngược với 1 cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ bao gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x bao gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ tất cả hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục ( ( 0, π ) → R ) bao gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược kia là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vày thường ký hiệu x nhằm chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi màn biểu diễn hàm ngược thay do x = f −1 (y) tất cả viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không đổi khác như khi đổi vai trò x,y lẫn nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác sản phẩm công nghệ nhất. Thiệt vậy, gọi (C) và (C’) theo thứ tự là thiết bị thị của hai hàm f (x) cùng f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cấp cho cơ bạn dạng • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác định (MXĐ) của hàm dựa vào vào số α . O trường hợp α ≥ 0 , MXĐ là R . O giả dụ α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 trường hợp α = , phường ∈ R* thì MXĐ là R + giả dụ o p p chẵn cùng R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu như α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 và nghịch phát triển thành nếu 0 1 cùng nghịch biến chuyển nếu o 0 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục y = cos x : tất cả MXĐ là R ,o MGT ; cho khớp ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm màn biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ cơ bạn dạng 2π . Y = tgx : bao gồm MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho khớp ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc khẳng định các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) cùng với trục tan là mặt đường thẳng gồm phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ cơ phiên bản π . Y = cotgx: tất cả MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực xo với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) cùng với trục cotg là mặt đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị những hàm số lượng giác 9 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục • các chất giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : gồm MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : gồm MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : tất cả MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một trong những hàm số được thành lập từ những hàm số sơ cấp cơ phiên bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán đem hàm hợp. Lấy ví dụ 8: các hàm số sau đầy đủ là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • các chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Hàng số Ta gọi dãy số là 1 tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một máy tự, tốt được đánh số bằng các số từ bỏ nhiên. Để cho một dãy số, fan ta hoàn toàn có thể dùng các phương pháp như liệt kê, công thức tổng quát và bí quyết truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo như đúng thứ từ bỏ (nếu ko viết được không còn thì sử dụng dấu “…” để thể hiện dãy xem thêm tục). • bí quyết tổng quát: chỉ rõ cách xác minh một số hạng ngẫu nhiên chỉ cần biết thứ từ bỏ của số hạng kia trong dãy. • bí quyết truy hồi: chứng tỏ cách xác minh một số hạng khi biết những số hạng ngay lập tức trước nó vào dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa sâu sắc mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, rất có thể xem là cách màn biểu diễn bằng quy hấp thụ không trả toàn. Còn hai giải pháp kia bảo đảm an toàn có thể kiếm được số hạng với thiết bị tự bất kỳ trong dãy. Lấy một ví dụ 9: dãy Fibonacci với 3 cách trình diễn nêu bên trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • cách làm tổng quát: Số hạng đồ vật n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • bí quyết truy hồi: nhì số hạng thứ nhất đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng ngay thức thì trước. Công thức tổng quát của hàng số là cách biểu diễn rất tốt để hoàn toàn có thể định nghĩa hàng số. Nhờ nó, dãy số được có mang một giải pháp hết sức đơn giản và dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: hàng số là một trong ánh xạ (hàm số) có miền xác định là (hoặc một tập con những số từ nhiên thường xuyên của ) với lấy cực hiếm trong tập những số thực R . Ta thường ký kết hiệu dãy số vì chưng x n n =1 tuyệt gọn hơn x n . ∞ 11 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... N∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,... 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2.

Xem thêm: Khái Niệm Về Các Obitan Nguyên Tử Là Gì, Obitan Nguyên Tử Là Gì



Xem thêm: Chồng Tôi Là Xã Hội Đen Nhưng Anh Còn Trong Trắng, Ông Xã Của Tôi Là Xã Hội Đen

Hàng tăng, dãy giảm, hàng bị ngăn Dãy x n hotline là • dãy tăng nếu như x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đối chọi điệu giả dụ nó là hàng tăng hoặc dãy giảm. • Bị ngăn trên ví như tồn trên số M sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn dưới nếu tồn trên số m làm sao để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị ngăn nếu vừa bị ngăn trên, vừa bị chặn dưới. Trong lấy một ví dụ 10 • dãy (A) là hàng số giảm, bị chặn dưới vì chưng 0 cùng bị chặn trên vì chưng 1. • hàng (B) không đối kháng điệu, bị ngăn dưới vì −1 cùng bị chặn trên do 1. • hàng (C) là hàng tăng, bị chặn dưới vì chưng 1 không trở nên chặn trên nên không trở nên chặn. • dãy (D) là hàng tăng, bị ngăn dưới do 0 và bị chặn trên vì 1.1.2.2. Số lượng giới hạn của hàng số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n cùng 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: cho trước một số ε > 0 nhỏ xíu tùy ý thì sẽ kiếm được một số N sao cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n với 0 sẽ bé hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, mang đến trước khoảng chừng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = 0 mang đến trước (bé tùy ý), mãi mãi số tự nhiên và thoải mái n 0 làm sao để cho với gần như n > n 0 thì x n − a bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên Ta viết: lim x n = a hay x n → a khi n → ∞ . N →∞ hàng x n được điện thoại tư vấn là dãy quy tụ nếu trường thọ số a để lim x n = a . Trong trường phù hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong có mang trên, số n 0 dựa vào vào ε phải ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ như 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với từng ε > 0 ngẫu nhiên chỉ đề nghị chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì lúc n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 đến trước (lớn tùy ý), vĩnh cửu số tự nhiên và thoải mái n 0 làm sao để cho với đa số n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ cùng là dãy phân kỳ. N →∞ Trên đây chỉ tuyên bố định nghĩa giới hạn vô thuộc nói chung, ta rất có thể phát biểu chi tiết hơn về số lượng giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn1.2.3.1. Tính tốt nhất của giới hạn Định lý: giả dụ một hàng có số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy chính là dãy bị chặn . • số lượng giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp trường hợp có bố dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a hoàn toàn có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có số lượng giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass dãy số tăng cùng bị ngăn trên (hoặc giảm và bị ngăn dưới) thì hội tụ. 13 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.2.4. Những định lý về giới hạn của dãy số mang lại x n , y n là những dãy có giới hạn hữu hạn. Sử dụng định nghĩa có thể chứng minh các công dụng sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ chăm chú rằng khi cả x n , y n có các giới hạn vô rất thì nhìn bao quát không sử dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi ấy ta được các hiệu quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp là 0∞ đề xuất dùng các phép chuyển đổi để khử dạng vô định. Lấy một ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Số lượng giới hạn và sự thường xuyên của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) trả sử hàm số f (x) xác định ở ở kề bên điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là A khi x dần tới x 0 nếu: với mọi số ε > 0 mang đến trước, phần đa tồn tại một trong những δ > 0 sao để cho khi: x − x 0 x 0 tốt x bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục • quy trình x tiến mang đến x 0 về phía bên phải, có nghĩa là x → x 0 với đk x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản và dễ dàng hơn là x → x 0 + • quy trình x tiến cho x 0 về phía bên trái, có nghĩa là x → x 0 với điều kiện x x 0 • giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: giả sử ϕ( x) với f (u) vừa lòng các điều kiện: lim ϕ(x) = b với lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • mãi mãi số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: nếu như hàm số sơ cấp f (x) khẳng định trong khoảng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: ví như tồn trên số δ > 0 làm thế nào để cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim g(x ) = bα . X →a x →a x →a ví dụ như 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , bởi vì lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: nếu như lim f (x) = 0 cùng g(x) là một trong những hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 vì chưng lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Cực kì lớn, khôn cùng bé1.3.3.1. Tư tưởng • Đại lượng f(x) gọi là một trong vô cùng bé nhỏ (viết tắt là VCB) khi x → a nếu như lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a rất có thể là hữu hạn tốt vô cùng. Tự định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A lúc x → a thì f (x) = A + α(x) trong số ấy α(x) là một trong VCB lúc x → a • Đại lượng F(x) gọi là một trong vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu lim F(x) = +∞ x →a16 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục 1 • rất có thể dễ dàng thấy rằng trường hợp f(x) là 1 VCB khác không lúc x → a cho nên VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là một VCL không giống không lúc x → a thì là 1 trong VCB F(x) lúc x → a . Chú thích: • Một hàm hằng không giống không dù nhỏ dại bao nhiêu cũng không là 1 trong VCB lúc x → a • Một hàm hằng lớn từng nào cũng không thể là 1 trong những VCL khi x → a1.3.3.2. Tính chất • nếu f1 (x), f 2 (x) là hai ngân hàng ngoại thương khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng chính là những ngân hàng ngoại thương khi x → a . • nếu f1 (x), f 2 (x) cùng dấu với là nhì VCL lúc x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là 1 trong VCL lúc x → a . Tích của nhị VCL khi x → a cũng là một trong VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh những vô cùng bé nhỏ • Bậc của những VCB Định nghĩa: trả sử α( x), β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là vcb bậc cao hơn β( x) . Giả dụ lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương bậc thấp rộng β(x) . Trường hợp lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta bảo rằng α(x) với β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb cùng bậc. Ví như lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng không thể đối chiếu hai vcb α(x) và Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Lấy một ví dụ 14: 1 − cos x cùng 2x gần như là những ngân hàng ngoại thương khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 cần 1 − cos x là vcb bậc cao hơn nữa 2x . Lấy một ví dụ 15: 1 x.sin cùng 2x là những ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp 1 1 cần x sin và 2x là hai ngân hàng ngoại thương vcb khi x → 0 không tuy nhiên không mãi mãi lim sin x x x →0 đối chiếu được cùng với nhau. • VCB tương tự Định nghĩa: Hai ngân hàng ngoại thương vietcombank α ( x ) với β ( x ) khác 0 khi x → a điện thoại tư vấn là tương tự với nhau giả dụ α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) dìm xét: 2VCB tương đương là ngôi trường hợp đặc trưng của 2 vcb cùng bậc. Định lý: trường hợp α(x) với β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vcb khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thật vậy, bởi α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng bé nhỏ tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là 1 hàm số xác minh trong khoảng tầm (a, b), x 0 là một điểm nằm trong (a, b) .Ta nói rằng hàm số f tiếp tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 giả dụ hàm số f không liên tục tại x 0 , ta bảo rằng nó gián đoạn tại x 0 . Nếu như đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: lim = 0 tốt lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói theo cách khác rằng f liên tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 lấy một ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại hầu hết x 0 ∈ R . Thiệt vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như như vậy, bao gồm thể chứng tỏ được rằng hầu như hàm số sơ cấp cơ bạn dạng đều thường xuyên tại đa số điểm nằm trong miền khẳng định của nó.18 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được gọi là: liên tiếp trong khoảng (a, b) nếu nó tiếp tục tại phần nhiều điểm của khoảng tầm đó. Tiếp tục trên đoạn , nếu như nó liên tiếp tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời tiếp tục phải trên a (tức là lim f (x) = f (a) ) và thường xuyên trái trên b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Những phép toán về hàm liên tiếp Từ những định lý về số lượng giới hạn của tổng, tích, thương và từ khái niệm của hàm số liên tục tại một điểm, hoàn toàn có thể dễ dàng suy ra: Định lý: ví như f với g là nhì hàm số liên tiếp tại x 0 thì: • f (x) + g(x) thường xuyên tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 f (x) • liên tiếp tại x 0 trường hợp g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: nếu như hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số phù hợp y = (f ϕ)(x) = f thường xuyên tại x 0 . Triệu chứng minh: Ta tất cả lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vày ϕ liên tục tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) liên tiếp tại u 0 . Bởi vì đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. đặc điểm của hàm số thường xuyên Các định lý dưới đây (không bệnh minh) nêu lên những đặc điểm cơ bản của hàm số liên tục. Định lý: ví như hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó bị ngăn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m với M sao cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: nếu như hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó đạt giá chỉ trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của chính nó trên đoạn ấy, có nghĩa là tồn tại nhì điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về cực hiếm trung gian): trường hợp hàm số f (x) liên tục trên đoạn ; m với M là những giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m cùng M luôn luôn tồn tại ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: nếu f(x) tiếp tục trên , f(a)f(b) bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài bác này chúng ta nghiên cứu giúp ba sự việc là:• Những vụ việc cơ bản về hàm số một vươn lên là số• dãy số và số lượng giới hạn của hàng số• số lượng giới hạn của hàm sốPhần trước tiên hệ thống hóa lại những khái niệm cơ bạn dạng về hàm số một đổi mới số, một vài tính chấtcủa hàm số như tính solo điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu cáckhái niệm về dãy số và số lượng giới hạn của hàng số, các định lý áp dụng để tính số lượng giới hạn của hàng số.Phần ở đầu cuối trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tiếp và những khái niệm khôn xiết lớn, vôcùng bé.20