Cực trị có điều kiện

     

Định nghĩa1: Một hàm được mang lại là có cực đại toàn thể tại một điểm nếu như tồn tại một vùng kề bên của điểm sao cho bất kỳ điểm nào M cùng với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường hợp này, có nghĩa là số gia của hàmĐịnh nghĩa2: Một hàm được cho là bao gồm cực tiểu toàn cục tại một điểm ví như tồn trên một vùng kề bên của điểm sao cho bất kỳ điểm làm sao M với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Vào trường thích hợp này, có nghĩa là số gia của hàm> 0.

Bạn đang xem: Cực trị có điều kiện

Định nghĩa 3: Điểm về tối thiểu cùng điểm buổi tối đa cục bộ được gọi là vấn đề cực trị.

Cực trị bao gồm điều kiện

Khi kiếm tìm kiếm rất trị của một hàm những biến, các vấn đề thường nảy sinh liên quan đến cái gọi là rất trị có điều kiện. Quan niệm này rất có thể được giải thích bằng lấy ví dụ như về một hàm nhì biến.

Cho một hàm và một chiếc được cho trước L trên bề mặt 0xy. Trách nhiệm là xếp mặt hàng L search một điểm như vậy phường (x, y), trong đó giá trị của hàm lớn nhất hoặc bé dại nhất so với những giá trị của hàm này tại các điểm thuộc đoạn trực tiếp L nằm sát điểm p Điểm do đó P tập trung điểm rất trị bao gồm điều kiện tác dụng dòng L. Không giống hệt như điểm rất trị thông thường, quý giá hàm tại điểm rất trị có điều kiện được đối chiếu với các giá trị hàm không phải tại tất cả các điểm của một số vùng ở bên cạnh của nó, nhưng chỉ ở hầu hết điểm nằm trên tuyến đường L.

Rõ ràng là cách nhìn của thái cực thông thường (họ cũng nói rất đoan vô điều kiện) cũng là một trong những điểm rất trị có điều kiện cho bất kỳ đường trực tiếp nào trải qua điểm này. Tất nhiên, trái lại là ko đúng: một điểm cực trị tất cả điều kiện rất có thể không phải là một điểm rất trị thông thường. Hãy để tôi lý giải điều này bởi một ví dụ đối kháng giản. Đồ thị của hàm số là buôn bán cầu trên (Phụ lục 3 (Hình 3)).

*

Hàm này có giá trị cực đại tại điểm gốc; nó khớp ứng với đầu M buôn bán cầu. Nếu loại L có một mặt đường thẳng đi qua những điểm NHƯNG và TẠI(phương trình của cô ấy x + y-1 = 0), thì rõ ràng về khía cạnh hình học tập rằng so với các điểm của đường thẳng này, giá bán trị lớn nhất của hàm đã có được tại điểm nằm tại vị trí giữa giữa những điểm NHƯNG cùng TẠI.Đây là điểm cực trị có điều kiện (cực đại) của hàm trên mẫu cho trước; nó tương ứng với điểm M 1 trên cung cấp cầu, và hoàn toàn có thể thấy từ mẫu vẽ rằng tất yêu có bất kỳ điểm rất trị thông thường nào ngơi nghỉ đây.

*

Lưu ý rằng vào phần ở đầu cuối của việc tìm giá bán trị lớn số 1 và nhỏ dại nhất của một hàm vào một vùng đóng, bọn họ phải tìm các giá trị cực trị của hàm bên trên biên của vùng này, tức là. Trên một trong những dòng, và vày đó xử lý vấn đề cho 1 cực trị gồm điều kiện.

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành tìm kiếm các điểm cực trị có đk của hàm Z = f (x, y) cùng với điều kiện những biến x cùng y gồm quan hệ với nhau vì phương trình (x, y) = 0. Mối quan hệ này đang là được gọi là phương trình ràng buộc. Giả dụ từ phương trình kết nối y rất có thể được thể hiện rõ ràng theo x: y u003d (x), họ nhận được một hàm của một biến hóa Z u003d f (x, (x)) u003d Ф (x).

Sau lúc tìm thấy giá trị của x nhưng tại đó hàm này đạt cực trị và tiếp nối xác định những giá trị khớp ứng của y từ bỏ phương trình kết nối, bọn họ sẽ thu được những điểm ước muốn của cực trị gồm điều kiện.

Vì vậy, trong ví dụ như trên, từ phương trình truyền x + y-1 = 0, chúng ta có y = 1-x. Từ bỏ đây

Dễ dàng bình chọn rằng z đạt cực lớn tại x = 0,5; nhưng kế tiếp từ phương trình liên kết y = 0,5, và chúng tôi nhận được đúng chuẩn điểm P, được search thấy từ những xem xét hình học.

Bài toán rất trị có đk được giải rất dễ dàng và đơn giản ngay cả lúc phương trình ràng buộc hoàn toàn có thể được trình diễn bằng các phương trình tham số x = x (t), y = y (t). Thay những biểu thức x với y vào hàm này, họ lại đến với vấn đề tìm cực trị của hàm một biến.

Nếu phương trình ràng buộc tất cả dạng phức hợp hơn và họ không thể thể hiện rõ ràng một biến chuyển này theo vươn lên là khác, hoặc sửa chữa nó bởi phương trình tham số, thì việc tìm điểm rất trị có đk sẽ trở nên trở ngại hơn. Chúng ta sẽ tiếp tục giả sử rằng trong biểu thức của hàm z = f (x, y) phát triển thành (x, y) = 0. Đạo hàm toàn phần của hàm z = f (x, y) bằng:

Đạo hàm y` làm việc đâu, được search thấy theo quy tắc phân minh của hàm ẩn. Tại các điểm của rất trị có điều kiện, đạo hàm toàn phần tìm được phải bởi 0; vấn đề đó cho ta một phương trình liên quan đến x với y. Do chúng cũng phải thỏa mãn phương trình ràng buộc đề nghị ta nhận thấy một hệ nhị phương trình với nhị ẩn số

Hãy biến hóa hệ thống này thành một hệ thống dễ ợt hơn nhiều bằng cách viết phương trình đầu tiên dưới dạng xác suất và đưa vào một ẩn số phụ mới:

*

(phía trước bao gồm đặt vệt trừ nhằm tiện theo dõi). Hoàn toàn có thể dễ dàng đưa từ những giá trị bằng này sang hệ thống sau:

f` x = (x, y) + `x (x, y) = 0, f` y (x, y) +` y (x, y) = 0 (*),

mà cùng với phương trình buộc ràng (x, y) = 0, tạo nên thành một hệ bố phương trình với những ẩn số x, y và.

Các phương trình (*) này dễ nhớ nhất bằng cách sử dụng nguyên tắc sau: để tìm những điểm có thể là điểm cực trị có điều kiện của hàm

Z = f (x, y) với phương trình ràng buộc (x, y) = 0, bạn phải tạo một hàm phụ

F (x, y) = f (x, y) + (x, y)

Hằng số ở chỗ nào và viết phương trình nhằm tìm những điểm rất trị của hàm số này.

Theo quy luật, hệ phương trình được hướng dẫn và chỉ định chỉ cung cấp các điều kiện cần thiết, có nghĩa là không phải mọi cặp quý hiếm x với y thỏa mãn hệ thức này đều là một điểm rất trị tất cả điều kiện. Tôi sẽ không đưa ra những điều kiện không thiếu thốn cho những điểm rất trị có điều kiện; vô cùng thường nội dung cụ thể của vấn đề tự nó lưu ý điểm kiếm được là gì. Kỹ thuật được biểu lộ để giải các bài toán cho một cực trị có đk được gọi là cách thức nhân Lagrange.

Đầu tiên họ hãy lưu ý trường hợp của một hàm nhì biến. Cực trị có đk của hàm $ z = f (x, y) $ tại điểm $ M_0 (x_0; y_0) $ là cực trị của hàm này, đã đạt được với điều kiện là các biến $ x $ với $ y $ vào vùng ở kề bên của điểm này thỏa mãn phương trình buộc ràng $ varphi (x, y) = 0 $.

Tên rất trị "có điều kiện" là vì điều kiện bổ sung $ varphi (x, y) = 0 $ được áp dụng cho những biến. Nếu rất có thể biểu diễn một biến hóa dưới dạng khác từ phương trình kết nối, thì bài toán xác định cực trị có điều kiện được rút gọn thành câu hỏi về rất trị thông thường của hàm một biến. Ví dụ: nếu $ y = psi (x) $ theo sau trường đoản cú phương trình ràng buộc, kế tiếp thay $ y = psi (x) $ thành $ z = f (x, y) $, bọn họ nhận được một hàm của một đổi thay $ z = f left (x, psi (x) right) $. Tuy nhiên, trong trường đúng theo chung, cách thức này ít được sử dụng, bởi vậy cần được có một thuật toán mới.

Phương pháp nhân Lagrange cho hàm nhì biến.

Phương pháp của nhân Lagrange là để tìm cực trị bao gồm điều kiện, hàm Lagrange được cấu tạo: $ F (x, y) = f (x, y) + lambda varphi (x, y) $ (tham số $ lambda $ được call là số nhân Lagrange). Các điều kiện rất đại quan trọng được gửi ra vì một hệ phương trình cơ mà từ đó các điểm đứng yên ổn được xác định:

$$ left ( begin (căn chỉnh) & frac ( một trong những phần F) ( một phần x) = 0; \ & frac ( một phần F) ( một phần y) = 0; \ và varphi (x, y) = 0. over (căn chỉnh) phải. $$

Kí hiệu $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. Ví như tại điểm đứng yên $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm $ z = f (x, y) $ có đk cực tiểu trên điểm này, cơ mà nếu $ d ^ 2F 0 $ thì $ d ^ 2F$ 0, tức là bọn họ có điều kiện tối thiểu của hàm $ z = f (x, y) $.

Lưu ý về dạng của định thức $ H $. Hiện an

$$ H = - left | begin (array) (ccc) 0 và varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") và F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") over (array) right | $$

Trong trường hợp này, luật lệ được gây ra ở trên biến hóa như sau: giả dụ $ H> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu và so với $ HSoạn hàm Lagrange $ F (x, y) = f (x, y) + lambda varphi (x, y) $Giải hệ thống $ left ( begin (căn chỉnh) và frac ( một trong những phần F) ( 1 phần x) = 0; \ & frac ( một trong những phần F) ( một trong những phần y) = 0; \ & varphi (x, y) = 0. end (căn chỉnh) phải. $Xác định bản chất của rất trị tại mỗi điểm đứng lặng trong đoạn trước. Để triển khai việc này, hãy sử dụng ngẫu nhiên phương pháp nào sau đây: biên soạn định thức $ H $ với tìm tín hiệu của nóTính mang đến phương trình ràng buộc, hãy tính lốt của $ d ^ 2F $

Phương pháp nhân Lagrange cho các hàm của n biến

Giả sử bọn họ có một hàm bao gồm $ n $ những biến $ z = f (x_1, x_2, ldots, x_n) $ và những phương trình ràng buộc $ m $ ($ n> m $):

$$ varphi_1 (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0; U0026quot; varphi_2 (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, ldots, varphi_m (x_1, x_2, ldots, x_n) = 0. $$

Ký hiệu những số nhân Lagrange là $ lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, công ty chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x_1, x_2, ldots, x_n, lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m) ​​= f + lambda_1 varphi_1 + lambda_2 varphi_2 + ldots + lambda_m varphi_m $$

Các điều kiện quan trọng để mãi sau một điểm rất trị có điều kiện được đưa ra vì chưng một hệ phương trình nhưng từ đó tọa độ của các điểm đứng yên ổn và các giá trị của nhân Lagrange được search thấy:

$$ left ( begin (căn chỉnh) và frac ( 1 phần F) ( một phần x_i) = 0; (i = overline (1, n)) \ và varphi_j = 0; (j = overline (1, m)) over (căn chỉnh) phải. $$

Có thể tò mò xem một hàm có mức giá trị cực tiểu có điều kiện hay cực lớn có điều kiện tại điểm tra cứu được, như trước đó đây, bằng phương pháp sử dụng vệt $ d ^ 2F $. Giả dụ tại điểm tìm được $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu, tuy vậy nếu $ d ^ 2FNếu những dấu hiệu của con trẻ vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), ; các ma trận H_ (2m + 2), ldots, H_ (m + n) $ $ L $ trùng với dấu của $ (- 1) ^ m $ thì điểm dừng đã nghiên cứu là điểm cực đái có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, ldots, x_n) $.Nếu những dấu hiệu của trẻ em vị thành niên ở góc cạnh là $ H_ (2m + 1), ; H_ (2m + 2), ldots, H_ (m + n) $ sửa chữa thay thế và vệt của $ H_ (2m + 1) $ trùng với lốt của số $ (- 1) ^ (m + 1 ) $, thì trạm dừng được phân tích là điểm cực to có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, ldots, x_n) $.

Ví dụ 1

Tìm rất trị có đk của hàm $ z (x, y) = x + 3y $ với điều kiện $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Giải hình học tập của việc này như sau: yêu ước tìm giá trị lớn số 1 và bé dại nhất của ứng dụng của khía cạnh phẳng $ z = x + 3y $ cho các giao điểm của nó với hình tròn trụ $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Hơi nặng nề để biểu đạt một vươn lên là này theo thay đổi khác từ phương trình buộc ràng và sửa chữa nó vào hàm $ z (x, y) = x + 3y $, vì vậy bọn họ sẽ sử dụng phương thức Lagrange.

Ký hiệu $ varphi (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $, shop chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x, y) = z (x, y) + lambda varphi (x, y) = x + 3y + lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \ frac ( 1 phần F) ( một trong những phần x) = 1 + 2 lambda x; frac ( 1 phần F) ( một trong những phần y) = 3 + 2 lambda y. $$

Hãy thuộc viết hệ phương trình khẳng định điểm đứng yên ổn của hàm Lagrange:

$$ left ( begin (căn chỉnh) & 1 + 2 lambda x = 0; \ và 3 + 2 lambda y = 0; \ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. kết thúc (căn chỉnh) phải. $$

Nếu chúng ta giả sử $ lambda = 0 $, thì phương trình thứ nhất trở thành: $ 1 = 0 $. Tác dụng là xích míc nói rằng $ lambda neq 0 $. Với đk $ lambda neq 0 $, trường đoản cú phương trình trước tiên và thiết bị hai, chúng ta có: $ x = - frac (1) (2 lambda) $, $ y = - frac (3) (2 lambda) $. Thay những giá trị chiếm được vào phương trình sản phẩm công nghệ ba, ta được:

$$ left (- frac (1) (2 lambda) right) ^ 2 + left (- frac (3) (2 lambda) right) ^ 2-10 = 0; \ frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; lambda ^ 2 = frac (1) (4); left < begin (căn chỉnh) & lambda_1 = - frac (1) (2); \ & lambda_2 = frac (1) (2). kết thúc (căn chỉnh) phải. \ begin (căn chỉnh) & lambda_1 = - frac (1) (2); U0026quot; x_1 = - frac (1) (2 lambda_1) = 1; U0026quot; y_1 = - frac (3) (2 lambda_1) = 3; \ & lambda_2 = frac (1) (2); U0026quot; x_2 = - frac (1) (2 lambda_2) = - 1; U0026quot; y_2 = - frac (3) (2 lambda_2) = - 3. end (căn chỉnh) $$

Vậy hệ gồm hai nghiệm: $ x_1 = 1; ; y_1 = 3; ; lambda_1 = - frac (1) (2) $ cùng $ x_2 = -1; ; y_2 = -3; ; lambda_2 = frac (1) (2) $. Họ hãy tìm kiếm ra đặc thù của rất trị tại mỗi điểm đứng yên: $ M_1 (1; 3) $ cùng $ M_2 (-1; -3) $. Để có tác dụng điều này, cửa hàng chúng tôi tính định thức $ H $ tại mỗi điểm.

$$ varphi_ (x) ^ (") = 2x; ; varphi_ (y) ^ (") = 2y; ; F_ (xx) ^ ("") = 2 lambda; ; F_ (xy) ^ ("") = 0; ; F_ (yy) ^ ("") = 2 lambda. \ H = left | begin (array) (ccc) 0 và varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") end (array) right | = trái | begin (array) (ccc) 0 và 2x & 2y \ 2x & 2 lambda & 0 \ 2y & 0 và 2 lambda end (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 & x & y \ x & lambda và 0 \ y và 0 & lambda kết thúc (array) right | $$

Tại điểm $ M_1 (1; 3) $ ta thừa nhận được: $ H = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x và y \ x & lambda và 0 \ y & 0 và lambda kết thúc (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và 1 & 3 \ 1 & -1/2 & 0 \ 3 và 0 & -1/2 over (array) right | = 40> 0 $, vày vậy tại thời gian $ M_1 (1; 3) $ hàm $ z (x, y) = x + 3y $ có đk tối nhiều là $ z _ ( max) = z (1; 3) = 10 $.

Tương tự, trên điểm $ M_2 (-1; -3) $ họ tìm thấy: $ H = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và x và y \ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda over (array) right | = 8 cdot left | begin (array) (ccc) 0 và -1 và -3 \ -1 & 50% & 0 \ -3 và 0 & 1/2 end (array) right | = -40 $. Kể từ lúc $ H 0 $. Vì đó, dấu của $ H $ ngược với vết của $ lambda $. Bạn cũng có thể hoàn thành những phép tính:

$$ begin (căn chỉnh) và H (M_1) = - 8 cdot left (- frac (1) (2) right) cdot left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 right) = 40; và H (M_2) = - 8 cdot frac (1) (2) cdot left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 right) = - 40. end (căn chỉnh) $$

Câu hỏi về tính chất của cực trị tại các điểm đứng yên ổn $ M_1 (1; 3) $ và $ M_2 (-1; -3) $ có thể được giải nhưng mà không cần sử dụng định thức $ H $. Tìm vết của $ d ^ 2F $ tại mỗi điểm đứng yên:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 lambda left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 right) $$

Tôi lưu ý rằng cam kết hiệu $ dx ^ 2 $ bao gồm nghĩa là đúng mực $ dx $ được thổi lên lũy thừa đồ vật hai, tức là $ left (dx right) ^ 2 $. Vì chưng đó chúng ta có: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $, bởi vậy cùng với $ lambda_1 = - frac (1) (2) $, bọn họ nhận được $ d ^ 2FTrả lời: tại điểm $ (- 1; -3) $ hàm có điều kiện bé dại nhất, $ z _ ( min) = - 10 $. Tại điểm $ (1; 3) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ ( max) = 10 $

Ví dụ số 2

Tìm rất trị có đk của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ với đk $ x + y = 0 $.

Cách thứ nhất (phương pháp nhân Lagrange)

Ký hiệu $ varphi (x, y) = x + y $, chúng ta soạn hàm Lagrange: $ F (x, y) = z (x, y) + lambda varphi (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + lambda (x + y) $.

$$ frac ( 1 phần F) ( 1 phần x) = 8x-y + lambda; U0026quot; frac ( một trong những phần F) ( 1 phần y) = 9y ^ 2-x + lambda. \ left ( begin (căn chỉnh) và 8x-y + lambda = 0; \ và 9y ^ 2-x + lambda = 0; \ và x + y = 0. end (căn chỉnh) phải. $$

Giải hệ, ta được: $ x_1 = 0 $, $ y_1 = 0 $, $ lambda_1 = 0 $ với $ x_2 = frac (10) (9) $, $ y_2 = - frac (10) (9 ) $, $ lambda_2 = -10 $. Bọn họ có nhì điểm đứng yên: $ M_1 (0; 0) $ với $ M_2 left ( frac (10) (9); - frac (10) (9) right) $. Bọn họ hãy tìm thực chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên bằng cách sử dụng định thức $ H $.

$$ H = left | begin (array) (ccc) 0 & varphi_ (x) ^ (") & varphi_ (y) ^ (") \ varphi_ (x) ^ (") và F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \ varphi_ (y) ^ (") và F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") over (array) right | = trái | begin (array) (ccc) 0 và 1 và 1 \ 1 & 8 & -1 \ 1 và -1 & 18y over (array) right | = -10-18y $$

Tại điểm $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 cdot 0 = -100 $, bởi vì vậy tại thời gian này, hàm có điều kiện tối đa, $ z _ ( max) = frac (500) (243) $.

Chúng tôi điều tra bản chất của rất trị tại mỗi điểm bằng một phương thức khác nhau, dựa vào dấu của $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

Từ phương trình ràng buộc $ x + y = 0 $ ta có: $ d (x + y) = 0 $, $ dx + dy = 0 $, $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

Vì $ d ^ 2F Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ đề nghị $ M_1 (0; 0) $ là điểm cực đái có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. Tương tự, $ d ^ 2F Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2 0 $ buộc phải $ M_1 $ là điểm nhỏ dại nhất của hàm $ u (x) $, trong những khi $ u _ ( min) = u (0) = 0 $. Vì $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)Trả lời: tại điểm $ (0; 0) $ hàm có đk tối thiểu, $ z _ ( min) = 0 $. Trên điểm $ left ( frac (10) (9); - frac (10) (9) right) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ ( max) = frac (500) (243 ) $.

Hãy để ý thêm một ví dụ, trong đó bọn họ tìm ra bản chất của rất trị bằng phương pháp xác định vệt của $ d ^ 2F $.

Ví dụ # 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $ z = 5xy-4 $ nếu các biến $ x $ cùng $ y $ dương và thỏa mãn phương trình buộc ràng $ frac (x ^ 2) (8) + frac ( y ^ 2) (2) -1 = 0 $.

Xem thêm: Tính Đạo Hàm Của Sin^2 X - Đạo Hàm Của $Sin^2 (X)$ Là Gì

Soạn hàm Lagrange: $ F = 5xy-4 + lambda left ( frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 right) $. Tìm các điểm đứng yên ổn của hàm Lagrange:

$$ F_ (x) ^ (") = 5y + frac ( lambda x) (4); ; F_ (y) ^ (") = 5x + lambda y. \ left ( begin (căn chỉnh) và 5y + frac ( lambda x) (4) = 0; \ và 5x + lambda y = 0; \ & frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0; \ và x> 0; ; y> 0. kết thúc (căn chỉnh) phải. $$

Tất cả các phép đổi khác tiếp theo được tiến hành có tính mang đến $ x> 0; U0026quot; y> 0 $ (điều này được điều khoản trong điều kiện của bài toán). Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu thị $ lambda = - frac (5x) (y) $ và nạm giá trị kiếm được vào phương trình lắp thêm nhất: $ 5y- frac (5x) (y) cdot frac (x) ( 4) = 0 $, $ 4y ^ 2-x ^ 2 = 0 $, $ x = 2y $. Gắng $ x = 2y $ vào phương trình đồ vật ba, ta được: $ frac (4y ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, $ y ^ 2 = 1 $, $ y = 1 $.

Vì $ y = 1 $ phải $ x = 2 $, $ lambda = -10 $. đặc điểm của điểm rất trị tại điểm $ (2; 1) $ được khẳng định theo vết của $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = frac ( lambda) (4); U0026quot; F_ (xy) ^ ("") = 5; U0026quot; F_ (yy) ^ ("") = lambda. $$

Vì $ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, nên:

$$ d left ( frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 right) = 0; U0026quot; d left ( frac (x ^ 2) (8) right) + d left ( frac (y ^ 2) (2) right) = 0; U0026quot; frac (x) (4) dx + ydy = 0; U0026quot; dy = - frac (xdx) (4y). $$

Về nguyên tắc, nghỉ ngơi đây bạn có thể thay ngay tọa độ của điểm dừng $ x = 2 $, $ y = 1 $ với tham số $ lambda = -10 $, cho nên vì thế thu được:

$$ F_ (xx) ^ ("") = frac (-5) (2); U0026quot; F_ (xy) ^ ("") = - 10; U0026quot; dy = - frac (dx) (2). \ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx cdot left (- frac (dx) (2) right) -10 cdot left (- frac (dx) (2) right) ^ 2 = \ = - frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

Tuy nhiên, trong số bài toán khác đối với điểm rất trị tất cả điều kiện, có thể có một trong những điểm đứng yên. Một trong những trường phù hợp như vậy, giỏi hơn là màn trình diễn $ d ^ 2F $ sinh hoạt dạng tổng quát, và kế tiếp thay cầm cố tọa độ của từng điểm đứng yên tìm kiếm được vào biểu thức kết quả:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = frac ( lambda) (4) dx ^ 2 + 10 cdot dx cdot frac (-xdx) (4y) + lambda cdot left (- frac (xdx) (4y) right) ^ 2 = \ = frac ( lambda) (4) dx ^ 2- frac (5x) (2y) dx ^ 2 + lambda cdot frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = left ( frac ( lambda ) (4) - frac (5x) (2y) + frac ( lambda cdot x ^ 2) (16y ^ 2) right) cdot dx ^ 2 $$

Thay $ x = 2 $, $ y = 1 $, $ lambda = -10 $, ta được:

$$ d ^ 2 F = left ( frac (-10) (4) - frac (10) (2) - frac (10 cdot 4) (16) right) cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

Vì $ d ^ 2F = -10 cdot dx ^ 2Trả lời: tại điểm $ (2; 1) $ hàm có đk tối đa, $ z _ ( max) = 6 $.

Trong phần tiếp theo, bọn họ sẽ coi xét việc áp dụng phương pháp Lagrange cho những hàm có con số biến bự hơn.

Ví dụ

Tìm rất trị của hàm với đk X cùng tại có tương quan với nhau theo tỷ lệ:. Về khía cạnh hình học, sự việc có nghĩa như sau: trên một hình elip

*
*
chiếc máy cất cánh
*
*
.

*

Vấn đề này có thể được giải quyết như sau: tự phương trình

*
tìm thấy
*
X:

*
miễn là
*
, rút ​​gọn thành câu hỏi tìm rất trị của hàm một biến, bên trên đoạn
*
.

Về khía cạnh hình học, vụ việc có nghĩa như sau: bên trên một hình elip

*
thu được bằng phương pháp vượt qua hình tròn
*
chiếc máy bay
*
, nó được yêu mong để tìm giá chỉ trị tối đa hoặc tối thiểu của ứng dụng
*
(Hình 9). Vấn đề này có thể được giải quyết như sau: từ bỏ phương trình
*
tìm thấy
*
. Rứa giá trị tìm được của y vào phương trình mặt phẳng, ta được một hàm một biến đổi X:

Như vậy, việc tìm cực trị của hàm số

*
miễn là
*
, rút ​​gọn thành câu hỏi tìm rất trị của hàm một đổi thay trên một đoạn.

Cho nên, vụ việc tìm một điểm rất trị có điều kiện là việc tìm điểm rất trị của hàm phương châm

*
, với điều kiện là các biến X và tại chịu đựng sự tiêu giảm
*
triệu tập phương trình kết nối.

Chúng tôi đã nói rằng dấu chấm

*
, thỏa mãn phương trình ràng buộc, là 1 trong điểm tối đa có điều kiện toàn thể (tối thiểu) nếu có một thành phố
*
như vậy cho bất kỳ điểm làm sao
*
, tọa độ của nó thỏa mãn nhu cầu phương trình ràng buộc, thì bất đẳng thức đó.

Nếu từ phương trình giao tiếp có thể tìm được biểu thức mang lại tại, sau đó, nắm biểu thức này vào hàm ban đầu, chúng tôi biến biểu thức sau thành một hàm phức của một trở thành X.

Phương pháp bình thường để giải bài toán cực trị có điều kiện là cách thức số nhân Lagrange. Hãy chế tạo ra một tác dụng bổ trợ, trong số ấy

*
─ một số. Tác dụng này được gọi là Hàm Lagrange, một
*
─ thông số nhân Lagrange. Vày đó, việc tìm điểm cực trị có điều kiện đã được rút gọn gàng thành việc tìm và đào bới điểm cực trị cục bộ cho hàm Lagrange. Để tìm những điểm gồm cực trị, cần giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn số. X, y và.

*

Sau đó, bạn ta nên thực hiện điều kiện cực đại đủ sau đây.

LÝ THUYẾT.Gọi điểm là vấn đề cực trị có thể có của hàm Lagrange. Chúng tôi giả định rằng trong vùng ở kề bên của điểm

*
có những đạo hàm riêng cung cấp hai liên tục của các hàm
*
*
. Chứng tỏ

Sau kia nếu

*
, tiếp đến
*
─ điểm cực trị có đk của hàm
*
tại phương trình buộc ràng
*
trong lúc đó, nếu
*
, sau đó
*
─ điểm tối thiểu có điều kiện, nếu
*
, tiếp đến
*
─ điểm tối đa tất cả điều kiện.

§tám. Gradient cùng đạo hàm có hướng

Để chức năng

*
được xác minh trong một trong những miền (mở). Coi xét bất kỳ điểm làm sao
*
khu vực này và bất kỳ đường thẳng có hướng nào (trục)
*
đi qua điểm đó (Hình 1). Để đến được
*
- một số trong những điểm không giống của trục này,
*
- độ dài của đoạn giữa
*
*
, được triển khai với một lốt cộng, nếu như hướng
*
trùng với hướng của trục
*
và bao gồm dấu trừ nếu vị trí hướng của chúng ngược nhau.

*

Để cho được

*
tiếp cận vô thời hạn
*
. Giới hạn

*

triệu tập đạo hàm hàm

*
đối với
*
(hoặc dọc theo trục
*
) với được cam kết hiệu như sau:

*
.

Đạo hàm này đặc thù cho "tốc độ núm đổi" của hàm trên điểm

*
đối với
*
. Đặc biệt, và những đạo hàm riêng thông thường
*
,
*
cũng có thể được xem là phái sinh "đối với sự chỉ đạo".

Giả sử hiện nay hàm

*
có các đạo hàm riêng liên tục trong vùng vẫn xét. Để trục
*
tạo thành các góc với các trục tọa độ
*
*
. Theo những giả thiết được gửi ra, đạo hàm có hướng
*
tồn tại với được biểu thị bằng công thức

*
.

Nếu vectơ

*
được tùy chỉnh bởi tọa độ của chính nó
*
, thì đạo hàm của hàm
*
theo hướng của vectơ
*
có thể được xem bằng công thức:

*
.

Vectơ bao gồm tọa độ

*
triệu tập vector gradient tính năng
*
tại điểm
*
. Vectơ gradient cho biết hướng tăng sớm nhất của hàm tại một điểm mang lại trước.

Ví dụ

Cho một hàm, một điểm A (1, 1) cùng một vectơ

*
. Tìm: 1) grad z trên điểm A; 2) đạo hàm tại điểm A theo hướng của vectơ
*
.

Đạo hàm từng phần của một hàm đã cho tại một điểm

*
:

;

*
.

Khi kia vectơ gradient của hàm tại thời đặc điểm này là:

*
. Vectơ gradient cũng rất có thể được viết bằng cách sử dụng mở rộng vectơ
*
*
:

*
. Đạo hàm hàm
*
theo vị trí hướng của vectơ
*
:

Cho nên,

*
,
*
.◄

Điều kiện phải và đủ để hàm số đạt rất trị nhì biến. Một điểm được gọi là vấn đề cực tè (cực đại) của hàm số ví như trong một cạnh bên nào đó của hàm số đó xác minh và thỏa mãn nhu cầu bất đẳng thức (tương ứng, điểm cực đại và cực tiểu được gọi là vấn đề cực trị của hàm số).

Một điều kiện quan trọng cho một điểm cực trị. Nếu tại điểm rất trị, hàm có các đạo hàm riêng rẽ đầu tiên, thì chúng biến mất tại điểm này. Sau đó, nhằm tìm những điểm cực trị của một hàm số đó, tín đồ ta bắt buộc giải hệ phương trình. Các điểm tất cả tọa độ vừa lòng hệ thức này được điện thoại tư vấn là các điểm cho tới hạn của hàm số. Trong các đó hoàn toàn có thể có điểm về tối đa, điểm về tối thiểu, cũng giống như các điểm ko phải là điểm cực trị.

Các điều kiện cực hạn đủ được sử dụng để lựa chọn điểm cực trị trường đoản cú tập hợp các điểm cho tới hạn và được liệt kê bên dưới đây.

Để hàm số tất cả đạo hàm riêng cung cấp hai liên tiếp tại điểm cho tới hạn. Ví như tại thời điểm này,

điều kiện, thì nó là 1 trong những điểm rất tiểu tại và một điểm cực đại tại. Ví như tại một điểm tới hạn, thì nó không phải là 1 điểm rất trị. Vào trường hòa hợp này, rất cần phải có một nghiên cứu và phân tích tinh tế hơn về bản chất của điểm tới hạn, trong trường vừa lòng này hoàn toàn có thể có hoặc không phải là vấn đề cực trị.

Cực trị của hàm cha biến. trong trường hợp một hàm ba biến, các định nghĩa về điểm rất trị tái diễn nguyên văn những định nghĩa tương ứng cho một hàm nhị biến. Shop chúng tôi giới hạn bạn dạng thân để trình diễn quy trình nghiên cứu và phân tích một hàm cho 1 điểm cực trị. Giải hệ phương trình, tín đồ ta đề xuất tìm các điểm cho tới hạn của hàm, kế tiếp tại từng điểm tới hạn đo lường và thống kê các đại lượng

Nếu cả tía đại lượng phần lớn dương thì điểm cho tới hạn sẽ xét là vấn đề cực tiểu; giả dụ thì điểm cho tới hạn sẽ cho là điểm tối đa.

Cực trị có điều kiện của một hàm nhì biến.Điểm được gọi là điểm cực đái (cực đại) có điều kiện của hàm, với điều kiện là tất cả một cạnh bên của điểm nhưng mà tại kia hàm được xác định và trong đó (tương ứng) với toàn bộ các điểm có tọa độ vừa lòng phương trình

Để tìm những điểm rất trị bao gồm điều kiện, hãy sử dụng hàm Lagrange

trong kia số được gọi là số nhân Lagrange. Giải hệ cha phương trình

*

tìm những điểm cho tới hạn của hàm Lagrange (cũng như cực hiếm của hệ số phụ A). Tại hầu hết điểm tới hạn này, có thể có một rất trị có điều kiện. Hệ thức bên trên chỉ chuyển ra các điều kiện quan trọng cho một điểm cực trị, nhưng chưa đủ: nó hoàn toàn có thể được thỏa mãn bởi tọa độ của những điểm không phải là điểm của một điểm cực trị có điều kiện. Tuy nhiên, thực hiện từ thực chất của vấn đề, thường có thể xác lập bản chất của điểm cho tới hạn.

Xem thêm: Tải Ram Là Gì? Tải Ram Cho Pc Và Tải Ram Cho Điện Thoại Là Có Thật?

Cực trị có điều kiện của một hàm những biến. Hãy chú ý một hàm của những biến với đk rằng chúng có liên quan với nhau bằng những phương trình