GIẢI BÀI TẬP ĐẠO HÀM LỚP 11 SGK TRANG 156

     

Hướng dẫn giải bài bác §1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số cùng Giải tích 11 bao gồm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập đại số với giải tích tất cả trong SGK để giúp đỡ các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập đạo hàm lớp 11 sgk trang 156

Lý thuyết

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng tầm ((a;b)), (x_0in (a;b)). Số lượng giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số (fracf(x)-f(x_0)x-x_0) lúc (x → x_0) được điện thoại tư vấn là đạo hàm của hàm số đã mang đến tại (x_0), kí hiệu là (f"( x_0)) tốt (y"( x_0)). Như vậy:

(f"( x_0) = lim_x ightarrow x_0) ( fracf(x)-f(x_0)x-x_0).

Nếu để (x – x_0= ∆x) cùng (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0)) thì ta có

(f"(x_0) = lim_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x)

Đại lượng (∆x) được điện thoại tư vấn là số gia của đối số tại (x_0) và đại lượng (∆y) được call là số gia tương xứng của hàm số.

2. Phép tắc tính đạo hàm bởi định nghĩa

– cách 1. với (∆x) là số gia của số đối tại (x_0) ,tính (∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0));

– cách 2. Lập tỉ số ( fracDelta yDelta x);

– bước 3. Tính ( lim_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x).

Nhận xét: nếu cố gắng (x_0) vị (x) ta có định nghĩa với quy tắc tính đạo hàm của hàm số (y = f(x)) trên điểm (x ∈ (a;b)).

3. Quan hệ giữa tính liên tiếp và sự mãi sau đạo hàm

Định lí: Nếu hàm số (y = f(x)) gồm đạo hàm trên (x_0) thì nó thường xuyên tại (x_0).

Chú ý:

Định lí trên tương đương với xác định : giả dụ (y = f(x)) cách biệt tại (x_0) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tiếp tại một điểm rất có thể không bao gồm đạo hàm trên điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

Nếu tồn tại, (f"(x_0)) là hệ số góc của tiếp tuyến của vật dụng thị hàm số (y = f(x)) trên điểm (M_0(x_0;f(x_0))). Lúc đó phương trình tiếp tuyến của thứ thị trên điểm (M_0(x_0;f(x_0))) là:

( y – f(x_0) = f"(x_0)(x-x_0))

Các cách viết phương trình tiếp tuyến đường của đồ dùng thị (C) tại điểm (M_0(x_0;y_0) in (C):)

Bước 1: Tính (f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) – f(x_0)x – x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

– cách 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với thiết bị thị (C) trên (M_0) là (k=f"(x_0))

– cách 3: Phương trình tiếp tuyến đường với thứ thị (C) tại điểm (M_0(x_0;y_0) in (C)) là: (y = f"(x_0).(x – x_0) + y_0)

Các bước viết phương trình tiếp đường của vật thị (C) hàm số y=f(x) lúc biết hệ số k:

– cách 1: hotline (M_0(x_0;y_0) in (C)) là tiếp điểm của tiếp tuyến đường với trang bị thị (C).

– bước 2: Tính (f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) – f(x_0)x – x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

– bước 3: Giải phương trình (k=f"(x_0)) tra cứu (x_0), rồi tìm (y_0=f(x_0).)

– bước 4: Phương trình tiếp đường của đồ gia dụng thị (C) với hệ số góc k là: (y = k(x – x_0) + y_0.)

5. Ý nghĩa đồ dùng lí của đạo hàm

Vận tốc lập tức của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: (s=s(t)) tại thời điểm (t_0) là (v(t_0)=s"(t_0).)

Cường độ tức thì của năng lượng điện lượng (Q=Q(t)) tại thời gian (t_0) là: (I(t_0)=Q"(t_0).)

Dưới đấy là phần phía dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 146 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Một đoàn tàu hoạt động khởi hành xuất phát điểm từ 1 nhà ga. Quãng mặt đường $s$ (mét) đi được của đoàn tàu là 1 trong những hàm số của thời gian $t$ (phút). Ở các phút đầu tiên, hàm số sẽ là $s = t^2$.

Hãy tính vận tốc trung bình của hoạt động trong khoảng chừng với to lớn $= 3$ cùng $t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.$

Nêu dìm xét về những công dụng thu được khi $t$ càng gần to $= 3$.

Trả lời:

Vận tốc của đoàn tàu là:

(v = s over t = t^2 over t = t)

Vận tốc vừa phải của chuyển động trong khoảng chừng với:

(eqalign& t_0 = 3;,t = 2:,,3 + 2 over 2 = 2,5 cr& t_0 = 3;,t = 2,5:,3 + 2,5 over 2 = 2,75 cr& t_0 = 3;,t = 2,9:,,3 + 2,9 over 2 = 2,95 cr& t_0 = 3;,t = 2,99:,3 + 2,99 over 2 = 2,995 cr )

⇒ $t$ càng sát to $= 3$ thì tốc độ trung bình của vận động trong khoảng tầm càng sát $3$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 149 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số $y = x^2$. Hãy tính $y"(x_0)$ bởi định nghĩa.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& y"(x_0) = mathop lim limits_x o x_0 x^2 – x_0^2 over x – x_0 = mathop lim limits_x o x_0 (x – x_0)(x + x_0) over x – x_0 cr& = mathop lim limits_x o x_0 (x + x_0) = 2x_0 cr )

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 150 sgk Đại số với Giải tích 11

a) Vẽ vật thị của hàm số $f(x) = x^2 over 2$

b) Tính $f’(1)$.

c) Vẽ con đường thẳng đi qua điểm $M(1; 1 over 2)$ và có hệ số góc bằng $f’(1)$. Nêu dấn xét về vị trí kha khá của mặt đường thẳng này cùng đồ thị hàm số sẽ cho.

Trả lời:

a) Vẽ thứ thị của hàm số $f(x) = x^2 over 2$

*

b) mang sử $Δx$ là số gia của đối số tại xo $= 1$. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(1 + Delta x) – f(1) = (1 + Delta x)^2 over 2 – 1^2 over 2 = (Delta x)^2 + 2Delta x over 2 cr& Rightarrow Delta y over Delta x = (Delta x)^2 + 2Delta x over 2:Delta x = Delta x over 2 + 1 cr& Rightarrow f"(1) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta x over 2 + 1 = 0 + 1 = 1 cr )

c) Đường thẳng có thông số góc bởi $f"(1) = 1$ tất cả dạng:

$y = 1.x + a$ xuất xắc $y = x + a$

Mà đường thẳng đó đi qua điểm $M(1; 1 over 2)$ phải có:

(1 over 2) = 1 + a ⇒ a = (1 over 2) – 1 = -(1 over 2)

⇒ con đường thẳng đi qua $M$ và có hệ số góc bằng $1$ là:

$y = x – 1 over 2$

Ta gồm đồ thị như trên. Đường thẳng $y = x – 1 over 2$ xúc tiếp với đồ vật thị hàm số $f(x)$ trên $M$.

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 152 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết phương trình đường thẳng đi qua Mo(xo; yo) cùng có thông số góc $k$.

Trả lời:

Đường thẳng trải qua điểm Mo(xo; yo) cùng có thông số góc $k$ tất cả phương trình:

$y = k(x – x_0) + y_0$ tốt $y = kx + (–kx_0 + y_0)$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 152 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số $y = -x^2 + 3x – 2$. Tính $y’(2)$ bằng định nghĩa.

Trả lời:

Giả sử $Δx$ là số gia của đối số tại $x_0 = 2$. Ta có:

$Δy = y(2 + Δx) – y(2)$

$= -(2 + Δx)^2+ 3(2 + Δx) – 2 – (-2^2 + 3.2 – 2)$

$= -(4 + 4Δx + (Δx)^2)+ 6 + 3Δx – 2 = – (Δx)^2 – Δx$

(eqalign& Rightarrow Delta y over Delta x = – (Delta x)^2 – Delta x over Delta x = – Delta x – 1 cr& Rightarrow y"(2) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 ( – Delta x – 1) = – 1 cr )

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 153 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) $f(x) = x^2$ tại điểm $x$ bất kì;

b) $g(x) = 1 over x$ trên điểm bất kỳ $x ≠ 0$.

Trả lời:

a) giả sử $Δx$ là số gia của đối số trên $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(x_0 + Delta x) – f(x_0) cr& = (x_0 + Delta x)^2 – x_0^2 = 2x_0Delta x + (Delta x)^2 cr& Rightarrow Delta y over Delta x = 2x_0Delta x + (Delta x)^2 over Delta x = 2x_0 + Delta x cr& Rightarrow y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (2x_0 + Delta x) = 2x_0 cr )

b) mang sử $Δx$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = g(x_0 + Delta x) – g(x_0) cr& = 1 over x_0 + Delta x – 1 over x_0^2 = – Delta x over x_0(x_0 + Delta x) cr& Rightarrow Delta y over Delta x = – Delta x over x_0(x_0 + Delta x):Delta x = – 1 over x_0(x_0 + Delta x) cr& y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 ( – 1 over x_0(x_0 + Delta x)) = – 1 over x_0^2 cr )

Dưới đấy là phần giải đáp giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

tretrucvietsun.com giới thiệu với chúng ta đầy đủ cách thức giải bài tập đại số cùng giải tích 11 kèm bài xích giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài xích §1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm vào Chương V. Đạo hàm cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm số gia của hàm số (f(x) = x^3), biết rằng :

a) (x_0 = 1; ∆x = 1);

b) (x_0= 1; ∆x = -0,1).

Bài giải:

a) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(1+1)-f(1))

(=f(2) – f(1) = 2^3-1^3= 7).

b) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(1-0,1)-f(1)=f(0,9) – f(1))

(= left ( frac910 ight )^3 – 1^3= frac7291000 – 1 = -frac2711000=-0,271).

2. Giải bài 2 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính (∆y) cùng (Delta y over Delta x) của các hàm số sau theo (x) cùng (∆x) :

a) (y = 2x – 5); b) (y = x^2- 1);

c) (y = 2x^3); d) (y = 1 over x).

Bài giải:

a) $∆y = f(x+∆x) – f(x) $=$ 2(x+∆x) – 5 – (2x – 5)$

$= 2x+2∆x-5-2x+5=2∆x$

(Delta y over Delta x = 2Delta x over Delta x = 2).

b) (Delta y = f(Delta x + x) – f(x))

(= (x + Delta x)^2 – 1 – (x^2 – 1))

(=x^2+2x.∆x+(∆x)^2-1-x^2+1)

(= 2x.Delta x + (Delta x)^2)

(= Delta x(2x + Delta x))

(Delta y over Delta x = Delta xleft( 2x + Delta x ight) over Delta x = 2x+Delta x)

c) (∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x + ∆x)^3- 2x^3)

(=2left < x^3+3x^2.∆x+3.x(∆x)^2+(∆x)^3 ight >-2x^3)

(= 2x^3+6x^2.∆x+6.x(∆x)^2+2(∆x)^3 -2x^3)

(=6x^2Delta x + 6x(Delta x)^2 + 2(Delta x)^3)

(= 2Delta x.left < 3x^2 + 3xDelta x + (Delta x)^2 ight >)

(fracDelta yDelta x = frac2Delta xleft < 3x^2+3xDelta x+(Delta x)^2 ight >Delta x= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2)

d) (∆y = f(x+∆x) – f(x) =-1 over x + 1 over x +Delta x = -x – Delta x + x over xleft( x + Delta x ight) = – Delta x over xleft( x + Delta x ight))

(Delta y over Delta x = frac- Delta x over xleft( x + Delta x ight)Delta x=-1 over left( x + Delta x ight)x)

3. Giải bài bác 3 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của từng hàm số sau tại các điểm vẫn chỉ ra:

a) (y = x^2+ x) trên (x_0= 1);

b) (y = frac1x) tại (x_0= 2);

c) (y = fracx+1x-1) trên (x_0 = 0).

Bài giải:

a) mang sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0 = 1).

Ta có: $∆y = f(1 + ∆x) – f(1) $

$= (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1)= 3∆x + (∆x)^2$

(fracDelta yDelta x = frac3∆x + (∆x)^2∆x=3 + ∆x)

(mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (3 + Delta x) = 3)

Vậy (f"(1) = 3).

Xem thêm: Hướng Dẫn Các Bước Khảo Sát Đồ Thị Hàm Số Bậc 3, Các Bước Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

b) giả sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0= 2)

Ta có: (∆y = f(2 + ∆x) – f(2))

(= frac12+Delta x – frac12 =frac2-2-Delta x2(2+Delta x)= – fracDelta x2left ( 2+Delta x ight ));

( fracDelta yDelta x = frac- fracDelta x2left ( 2+Delta x ight )Delta x=- frac12left ( 2+Delta x ight ))

(mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 left( – 1 over 2.(2 + Delta x) ight) = – 1 over 4)

Vậy (f"(2) = – frac14).

c) giả sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0= 0).

Ta có: (∆y = f(∆x) – f(0) = fracDelta x+1Delta x-1- ( -1) =frac∆x+1+∆x-1∆x-1= frac2Delta xDelta x-1);

( fracDelta yDelta x=fracfrac2Delta xDelta x-1∆x=frac2Delta x-1)

( mathop limlimits_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x) = ( mathop limlimits_Delta x ightarrow 0) ( frac2Delta x-1 = -2).

Vậy (f"(0) = -2).

4. Giải bài xích 4 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số

(f(x) = left{ matrix{(x – 1)^2 ext nếu như x ge 0 hfill cr– x^2 ext ví như x

5. Giải bài xích 5 trang 156 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết phương trình tiếp con đường của đường cong (y = x^3):

a) tại điểm bao gồm tọa độ ((-1;-1));

b) trên điểm bao gồm hoành độ bằng (2);

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3)

Bài giải:

Bằng tư tưởng ta tính được (y’ = 3x^2).

a) tại điểm có tọa độ ((-1;-1))

(y’ (-1) = 3).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3).

Vậy phương trình tiếp con đường tại điểm ((-1;-1)) là

(y – (-1) = 3) hay (y = 3x+2).

b) trên điểm gồm hoành độ bằng (2)

(y’ (2) = 12).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bởi (12)

Ta lại sở hữu (y(2) = 8).

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bởi (2) là: ( y – 8 = 12(x – 2)) hay (y = 12x -16).

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3)

Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

(y’ (x_0) = 3 Leftrightarrow 3x_0^2= 3Leftrightarrow x_0^2= 1Leftrightarrow x_0= ±1).

Với (x_0= 1) ta bao gồm (y(1) = 1), phương trình tiếp tuyến đường là ( y – 1 = 3(x – 1)) giỏi (y = 3x – 2).

Với (x_0= -1) ta có (y(-1) = -1), phương trình tiếp tuyến là (y – (-1) = 3) giỏi (y = 3x + 2).

6. Giải bài 6 trang 156 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến đường của mặt đường hypebol (y = frac1x):

a) trên điểm (( frac12 ; 2))

b) tại điểm bao gồm hoành độ bởi (-1);

c) Biết rằng thông số góc của tiếp tuyến bởi -( frac14).

Bài giải:

Bằng tư tưởng ta tính được (y’ = – frac1x^2).

a) tại điểm (( frac12 ; 2)):

(y’ left ( frac12 ight )= -4).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng (-4).

Vậy phương trình tiếp con đường của hypebol trên điểm (( frac12 ; 2)) là (y – 2 = -4(x – frac12)) tốt (y = -4x + 4).

b) trên điểm tất cả hoành độ bằng (-1):

(y’ (-1) = -1).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bởi (-1).

Ta lại có (y(-1) = -1).

Vậy phương trình tiếp con đường tại điểm bao gồm tọa độ là (-1) là (y – (-1) = -) tốt (y = -x – 2).

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bởi -( frac14):

Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm.

Ta có (y’ (x_0) = – frac14 Leftrightarrow – frac1x_0^2 = – frac14)(Leftrightarrow x_0^2 = 4 Leftrightarrow x_0= ±2).

Với (x_0= 2) ta gồm (y(2) = frac12), phương trình tiếp con đường là (y – frac12 = – frac14(x – 2)) hay (y = -frac14x + 1).

Với (x_0 = -2) ta có (y (-2) = – frac12), phương trình tiếp tuyến đường là (y – left ( -frac12 ight ) = – frac14) xuất xắc (y = – frac14x -1).

7. Giải bài xích 7 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11

Một đồ dùng rơi thoải mái theo phương trình (s = 1 over 2gt^2) , trong số đó (g ≈ 9,8) m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tìm tốc độ trung bình của hoạt động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) cho (t + ∆t), trong những trường hợp (∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s).

b) Tìm vận tốc tức thời của hoạt động tại thời khắc (t = 5s)

Bài giải:

a) vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ (t) đến (t + ∆t) là:

(V_tb= fracsleft ( t+Delta t ight )-sleft ( t ight )Delta t= fracfrac12gcdot left ( t+Delta t ight )^2-frac12gcdot t^2Delta t =1 over 2g(2t + Delta t) approx 4,9.(2t + Delta t))

Với ( t=5) và:

(∆t = 0,1) thì (v_tb≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s);

(∆t = 0,05) thì (v_tb≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s);

(∆t = 0,001) thì (v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s).

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Hủy Dịch Vụ Mca Của Viettel Tổng Đài 193, Thông Báo Cuộc Gọi Nhỡ (Mca)

b) tốc độ tức thời của hoạt động tại thời điểm (t = 5s) tương xứng với (∆t = 0)

Vậy (v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài giỏi cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số với Giải tích 11!