GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

     

1 - Hệ phương trình con đường tính tổng quát

Hệ phương trình đường tính tổng quát tất cả dạng $left{ egingathered a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_1 = b_1 hfill \ a_12x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2 hfill \ ... hfill \ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m hfill \ endgathered ight..$

Với

Bạn đang xem:
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính


Xem thêm: Đám Cưới Cô Dâu Chú Rể Đám Cưới Siêu Đỉnh, Cô Dâu Chú Rể Hát Song Ca Đám Cưới Đỉnh Của Chóp


Xem thêm: Phương Pháp Giải Bài Tập Về Động Năng Thế Năng Và Cơ Năng Môn Vật Lý Lớp 10


\ x_n endarray ight),B = left( eginarray*20c b_1 \ b_2 \ ... \ b_m endarray ight),overline A = left( eginarray*20c a_11&a_12&...&a_1n&b_1 \ a_21&a_22&...&a_2n&b_2 \ ...&...&...&...&... \ a_m1&a_m2&...&a_mn&b_m endarray ight).>

Ta điện thoại tư vấn là hệ phương trình tuyến tính có $m$ phương trình với $n$ ẩn.

Hệ phương trình vẫn cho rất có thể được viết bên dưới dạng ma trận $AX=B.$

Đặt $A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_mj endarray ight),j = 1,2,...,n$là véctơ cột sản phẩm j của ma trận hệ số A. Lúc đó hệ phương trình

Hệ phương trình đã cho hoàn toàn có thể được viết dưới dạng véctơ $x_1A_1^c+x_2A_2^c+...+x_nA_n^c=B.$ Vậy hệ gồm nghiệm khi và chỉ khi véctơ $B$ màn trình diễn tuyến tính qua hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight$ của ma trận $A.$ Hệ bao gồm bao nhiêu nghiệm thì tất cả bấy nhiêu cách màn trình diễn tuyến tính véctơ $B$ qua hệ véctơ cột của ma trận $A.$

Do đều định thức con của $A$ hầu như là định thức con của $overlineA$ cho nên vì vậy $0le r(A)le r(overlineA)le min left m,n+1 ight.$

2 - Điều kiện phải và đủ nhằm hệ phương đường tính có nghiệm

Định lí Kronecker – Capelli

Cho hệ phương trình tuyến đường tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều kiện nên và đủ để hệ phương trình tuyến tính bao gồm nghiệm là $r(A)=r(overlineA).$

Chứng minh.

Ta có $r(A)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight,r(overlineA)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$

Điều khiếu nại cần: nếu như hệ tất cả nghiệm thì véctơ B được màn trình diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$

Do kia

Điều khiếu nại đủ: Nếu $r(A)=r(overlineA)Rightarrow rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$

Ta gồm điều nên chứng minh.

3 - khảo sát điều tra tổng quát hệ phương trình đường tính

Cho hệ phương trình tuyến tính bao gồm $n$ ẩn, những ma trận thông số và ma trận hệ số mở rộng lần lượt là $A,overlineA.$ lúc đó:

Nếu $r(A)=r(overlineA)=n$ (số ẩn của hệ) thì hệ tất cả nghiệm duy nhất;Nếu $r(A)=r(overlineA)=r

Ví dụ 1: Giải cùng biện luận hệ phương trình $left{ egingathered x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 7 hfill \ 2x_1 + 5x_2 + x_3 + 5x_4 = 16 hfill \ 3x_1 + 7x_2 + x_3 + 8x_4 = 23 hfill \ 5x_1 + 12x_2 + 2x_3 + 13x_4 = m hfill \ 6x_1 + 14x_2 + 3x_3 + 16x_4 = 46 hfill \ endgathered ight..$

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng:

$overline A = left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 2&5&1&5&16 \ 3&7&1&8&23 \ 5&12&2&13&m \ 6&14&3&16&46 endarray ight)xrightarrowegingathered mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 hfill \ mathbf - 5mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 hfill \ mathbf - 6mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf5 hfill \ endgathered left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&2&2& - 2&m - 35 \ 0&2&3& - 2&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf5 endsubarray left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&0&0&0&0 \ 0&0&0&0&m - 39 \ 0&0&1&0&0 endarray ight).$