Câu 18 trang 8 sbt toán 9 tập 1 phân tích thành nhân tử

     

CHUYÊN ĐỀ

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Tìm nhân tử chung là gần như đơn, nhiều thức xuất hiện trong tất cả các hạng tử.

Bạn đang xem: Câu 18 trang 8 sbt toán 9 tập 1 phân tích thành nhân tử

Phân tích mỗi hạng tử kết quả của nhân tử chung và một nhân tử khác.

Viết nhân tử chung ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử còn sót lại của từng hạng tử vào trong lốt ngoặc (kể cả lốt của chúng).

Ví dụ 1. đối chiếu các đa thức sau thành nhân tử.

28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)

2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)

xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)

2. Cách thức dùng hằng đẳng thức

- Dùng những hằng đẳng thức lưu niệm để phân tích nhiều thức thành nhân tử.

- Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2  + 9a2b4)

25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Phương pháp nhóm các hạng tử

Kết hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.

Áp dụng thường xuyên các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc sử dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ 3. So với các nhiều thức sau thành nhân tử

2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)

= ( x2 + 1)( 2x – 3)

x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Phối vừa lòng nhiều cách thức

- Chọn các cách thức theo máy tự ưu tiên.

- Đặt nhân tử chung.

- Dùng hằng đẳng thức.

- Nhóm nhiều hạng tử.

Ví dụ 4. So với các nhiều thức sau thành nhân tử

3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2


 3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =

= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)

= 3xy<( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)>

= 3xy<(x – 1)2 – (y + a)2>

= 3xy<(x – 1) – (y + a)><(x – 1) + (y + a)>

= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)

 

II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)

a) Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):

Bước 1: search tích ac, rồi phân tích ac ra tích của nhị thừa số nguyên bằng mọi cách.

a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …

Bước 2: lựa chọn hai vượt số có tổng bằng b, ví dụ điển hình chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci

Bước 3: tách bóc bx = aix + cix. Từ kia nhóm nhị số hạng phù hợp để đối chiếu tiếp.

Ví dụ 5. Phân tích nhiều thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.

Hướng dẫn

- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)

- Tích của hai thừa số bao gồm tổng bởi b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).

- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)


Lời giải

3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)

= (x + 2)(3x +2)

b) Cách 2 (tách hạng tử bậc nhị ax2)

- Làm mở ra hiệu nhì bình phương :

f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)

= (x + 2)(3x + 2)

- Tách thành 4 số hạng rồi team :

f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(3x + 2)

f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)

c) Cách 3 (tách hạng tử tự do c)

- Tách thành 4 số hạng rồi đội thành hai nhóm:

f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)

d) Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)

f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)

f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)

e) Cách 5 (nhẩm nghiệm): xem phần 2.

Chú ý : nếu f(x) = ax2 + bx + c gồm dạng A2 ± 2AB + c thì ta bóc như sau :

f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)


Ví dụ 6. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử.

Hướng dẫn

Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đó ta cần thêm và giảm 12 = 1 để mở ra hằng đẳng thức.

Lời giải

f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)

Ví dụ 7. Phân tích nhiều thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử.

Lời giải

Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)

= (3x – 1)(3x + 5)

cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)

2. Đối với nhiều thức bậc tự 3 trở lên

Trước hết, ta chú ý đến một định lí đặc biệt quan trọng sau :

Định lí : nếu như f(x) tất cả nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a với f(x) có thể viết bên dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

cơ hội đó tách các số hạng của f(x) thành những nhóm, mỗi nhóm rất nhiều chứa nhân tử là x – a. Cũng cần chú ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, ví như có, phải là 1 ước của thông số tự do.

thiệt vậy, đưa sử đa thức nguyên, gồm nghiệm nguyên x = a. Nạm thì :

, trong số ấy là những số nguyên. Hạng tử bậc thấp tuyệt nhất ở vế buộc phải là – ab0, hạng tử bậc thấp nhất ở vế trái là a0. Vì thế – ab0 = a0, suy ra a là mong của a0.


Ví dụ 8. Phân tích nhiều thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử.

Lời giải

Lần lượt kiểm soát với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) tất cả một nghiệm x = –2, cho nên vì thế nó cất một nhân tử là x + 2. Tự đó, ta bóc tách như sau

Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)

= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

trường đoản cú định lí trên, ta có những hệ trái sau :

Hệ trái 1. Ví như f(x) gồm tổng các hệ số bởi 0 thì f(x) tất cả một nghiệm là x = 1. Từ đó f(x) bao gồm một nhân tử là x – 1.

Chẳng hạn, nhiều thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có một + (–5) + 8 + (–4) = 0 buộc phải x = một là một nghiệm của nhiều thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta so với như sau :


f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)

= (x – 1)( x – 2)2

Hệ trái 2. Nếu như f(x) bao gồm tổng những hệ số của những luỹ quá bậc chẵn bởi tổng các hệ số của những luỹ vượt bậc lẻ thì f(x) bao gồm một nghiệm x = –1. Từ kia f(x) tất cả một nhân tử là x + 1.

Chẳng hạn, nhiều thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có một + 3 = –5 + 9 buộc phải x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức tất cả một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :

f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)

= (x + 1)( x – 3)2

 Hệ trái 3. Nếu f(x) tất cả nghiệm nguyên x = a với f(1) cùng f(–1) khác 0 thì và những là số nguyên.

Chứng minh

Đa thức f(x) bao gồm nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Cho nên vì vậy f(x) gồm dạng :

f(x) = (x – a).q(x) (1)

cầm x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).

do f(1) ≠ 0 buộc phải a ≠ 1, suy ra q(1) = . Vì các hệ số của f(x) nguyên nên các hệ số của q(x) cũng nguyên. Vì chưng đó, q(1) là số nguyên. Vậy là số nguyên.


cố gắng x = –1 vào (1) và chứng tỏ tương trường đoản cú ta có là số nguyên.

Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.

Hướng dẫn

Các mong của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.

f(1) = –18, f(–1) = –44, đề xuất ± 1 chưa phải là nghiệm của f(x).

Dễ thấy ,, , ko là số nguyên bắt buộc –3, ± 6, ± 9, ± 18 ko là nghiệm của f(x). Chỉ với –2 cùng 3. đánh giá ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Bởi đó, ta tách các hạng tử như sau :

 

= (x – 3)(4x2 – x + 6)

Hệ quả 4. Nếu f(x) = (là những số nguyên) gồm nghiệm hữu tỉ x = , trong những số đó p, q Î Z với (p , q)=1, thì phường là ước a0, q là cầu dương của an .

Chứng minh

Ta thấy f(x) gồm nghiệm x = vì thế nó có một nhân tử là (qx – p). Vì những hệ số của f(x) mọi nguyên buộc phải f(x) tất cả dạng: f(x) = (qx – p)

Đồng độc nhất hai vế ta được qbn–1 = an , –pb0 = ao. Từ kia suy ra phường là mong của a0, còn q là mong dương của an (đpcm).

Ví dụ 10. Phân tích nhiều thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.

Hướng dẫn

các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy những số này sẽ không là nghiệm của f(x). Bởi vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số , ta thấy là nghiệm của nhiều thức, do đó đa thức bao gồm một nhân tử là 3x – 1. Ta đối chiếu như sau :


f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Về Kim Loại Kiềm Thổ, Chuyên Đề Bài Tập Tổng Hợp Kim Loại Kiềm

3. Đối với nhiều thức nhiều biến

Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;

b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

Hướng dẫn

a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.

Ta tách hạng tử thứ 2 :

2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)

= (x - 2y)(2x - y)

a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :

x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =

= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)

= (x - y)(y - z)(x - z)

Chú ý :

1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))

2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Lúc ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào nhiều thức thì giá trị của nhiều thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng rẽ (Xem phần IV).


III. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

Thêm và giảm cùng một hạng tử làm xuất hiện thêm hiệu nhị bình ph­ương

Ví dụ 12. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

bí quyết 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Ví dụ 13. Phân tích nhiều thức x4 + 16 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)

= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Thêm và giảm cùng một hạng tử làm lộ diện nhân tử chung

Ví dụ 14. Phân tích nhiều thức x5 + x - 1 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1.

x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1


 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)

 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).

Cách 2. Thêm và bớt x2 :

x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)

 = (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).

Ví dụ 15. Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử

Lời giải

x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2  - x + 1)

Lưu ý : Các nhiều thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1.

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Đặt ẩn phụ để lấy về dạng tam thức bậc nhị rồi áp dụng các phương pháp cơ bản.

Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Lời giải

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã đến có dạng :

(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)


= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)

thừa nhận xét: Nhờ cách thức đổi biến đổi ta đã chuyển đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y.

Ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.

Lời giải

Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng :

.

Đặt thì . Vì chưng đó :

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2

= = (x2 + 3x - 1)2.

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.

Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)

= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3

Lời giải

test với x= ±1; ±3 không là nghiệm của nhiều thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì đề nghị cú dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd


= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.

Đồng nhất các hệ số ta được :

 

Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î ± 1, ± 3. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện bên trên trở thành

 Þ 2c = -14 - (-6) = -8. Vì chưng đó c = -4, a = -2.

Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).

IV. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

vào phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của nhiều thức, rồi gán mang đến các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại.

Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).

Lời giải

gắng x bởi vì y thì p. = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy p. Chứa quá số (x – y).

Ta thấy nếu nỗ lực x vì chưng y, cố kỉnh y vị z, chũm z vì x thì phường không thay đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Cho nên vì thế nếu p đã chứa thừa số (x – y) thì cũng đựng thừa số (y – z), (z – x). Vậy p. Có dạng k(x – y)(y – z)(z – x).

Ta thấy k buộc phải là hằng số vì phường có bậc 3 so với tập hợp những biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có thể có bậc 3 đối với tập hợp những biến x, y, z.


vì chưng đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với tất cả x, y, z cần ta gán cho những biến x ,y, z những giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:

4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1

Vậy phường = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

V. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT

1. Đưa về nhiều thức : a3 + b3 + c3- 3abc

Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) a3 + b3 + c3 - 3abc.

b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.

Lời giải

a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc

= <(a + b)3 + c3> - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)<(a + b)2 - (a + b)c + c2> - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)

b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có :

a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.

Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

2. Đưa về nhiều thức : (a + b + c)3- a3- b3- c3

Ví dụ 21. Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử :


a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.

b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.

Lời giải

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = <(a + b) + c>3 - a3 - b3 - c3

= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3

= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a+ b)(a2 - ab + b2)

= (a + b)<(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)>

= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)

= 3(a + b)(b + c)(c + a).

b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c). Đa thức đã đến có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

tuyệt 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)

 

BÀI TẬP

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) (ab - 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3 - 4x2 + 12x - 27 ;

d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ; e) x4 - 2x3 + 2x - 1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x2 - 2x - 4y2 - 4y ; b) x4 + 2x3 - 4x - 4 ;

c) x2(1 - x2) - 4 - 4x2 ; d) (1 + 2x)(1 - 2x) - x(x + 2)(x - 2) ;

e) x2 + y2 - x2y2 + xy - x - y.

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ;

b) (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc ;

c) c(a + 2b)3 - b(2a + b)3.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) ;

b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ;

c) (x + y)(x2 - y2) + (y + z)(y2 - z2) + (z + x)(z2 - x2) ;

d) x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y) ;

e) x3(z - y2) + y3(x - z2) + z3(y - z2) + xyz(xyz - 1).

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) a(b + c)2(b - c) + b(c + a)2(c - a) + c(a + b)2(a - b)

b) a(b - c)3 + b(c - a)3 + c(a - b)2 ;

c) a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a) ;

d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 ;

e) a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b).

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 ;

b) abc - (ab + bc + ca) + a + b + c - 1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) :

a) 6x2 – 11x + 3 ; b) 2x2 + 3x – 27 ; c) x2 – 10x + 24 ;

d) 49x2 + 28x – 5 ; e) 2x2 – 5xy – 3y2.

a) x3 – 2x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ;

d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 2 ;

h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bởi nhiều cách).

a) 27x3 + 27x +18x + 4 ; b) 2x3 + x2 +5x + 3 ; c) (x2 – 3)2 + 16.10. A) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 ; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 ;

 c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 ;

11. A) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ;

 b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ;


 c) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.

12. (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc bằng cách đổi biến : đặt a + b = m và a - b = n.13. A) 4x4 - 32x2 + 1 ; b) x6 + 27 ;

 c) 3(x4 + x+2+ + 1) - (x2 + x + 1)2 ; d) (2x2 - 4)2 + 9.

14. A) 4x4 + 1 ; b) 4x4 + y4 ; c) x4 + 324.15. A) x5 + x4 + 1 ; b) x5 + x + 1 ; c) x8 + x7 + 1 ;

 d) x5 - x4 - 1 ; e) x7 + x5 + 1 ; g) x8 + x4 + 1.

16. A) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 ; b) x3 + 3xy + y3 - 1.17. Dùng phương pháp hệ số bất định :

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 ;

c) x4 - 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.


18. A) x8 + 14x4 + 1 ; b) x8 + 98x4 + 1.19. Dùng phương pháp xét giá trị riêng biệt :

M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).

20. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại nhì số bằng nhau, nếu :

a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)

21. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.22. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d.23. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì :

(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.

24. Mang đến a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0.25. Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì :

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.

Xem thêm: Đánh Giá Top 10 Xe Đạp Cũ Dưới 1 Triệu Đồng Bán Chạy Nhất, Mua Bán Xe Đạp Thể Thao Giá 1 Triệu Mới Cũ

26. Tính các tổng sau :

a) S1 = 1 + 2 + 3 + … + n ;

b) S2 = 12 + 22 + 32 + … + n2.