Rút gọn lượng giác lớp 10

     

Bài trước đang học bí quyết lượng giác, bài này sẽ giúp bạn áp dụng công thức một biện pháp linh hoạt để biến hóa biểu thức lượng giác trải qua các ví du. Trường đoản cú đó nhằm mục đích triệt tiêu những giá trị lượng giác của góc không quan trọng đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác quánh biệt.

Thí dụ 1. Rút gọn gàng biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x.

Bạn đang xem: Rút gọn lượng giác lớp 10


Biến thay đổi biểu thức về dạng:A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx.Nhận xét:
Như vậy, để rút gọn những biểu thức trên chúng ta sử dụng công thức hạ bậc dựa trên ý tưởng phát minh chủ đạo là biến đổi nó về dạng tổng.Thí dụ 2. Rút gọn các biểu thức:a. A = $frac1 - cos ^2left( fracpi 2 + alpha ight)1 - sin ^2left( fracpi 2 - alpha ight)$ - cot($fracpi 2$ - α).tan(α - $fracpi 2$).b. B = $fracsin ^42x + cos ^42x an (fracpi 4 - x). an (fracpi 4 + x)$.
a. đổi khác A về dạng:A = $frac1 - sin ^2alpha 1 - cos ^2alpha $ + tanα.cotα = $fraccos ^2alpha sin ^2alpha $ + 1 = $fraccos ^2alpha + sin ^2alpha sin ^2alpha $ = $frac1sin ^2alpha $.b. đổi khác B về dạng:B = $frac(sin ^22x + cos ^22x)^2 - 2sin ^22x.cos ^22x an (fracpi 4 - x).cot (fracpi 4 - x)>$ = 1 - $frac12$sin24x.Nhận xét: Như vậy, để rút gọn những biểu thức trên họ chỉ việc thực hiện mối contact giữa những góc quánh biệt.Thí dụ 3.
Rút gọn biểu thức: A = $fracsin x + sin 3x + sin 5xcos x + cos 3x + cos 5x$.
Ta theo lần lượt có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2)Từ (1) với (2) suy ra: A = $fracsin 3xcos 3x$ = tan3x.Nhận xét:
Đương nhiên, chúng ta có thể trình bày theo kiểu chuyển đổi đồng thời TS và MS. Cách trình diễn như trên bao gồm tính minh hoạ để các em học viên lấy nó vận dụng cho phần nhiều biểu thức nhưng độ phức hợp trong những phép chuyển đổi cho TS và MS không giống nhau.Thí dụ 4. Rút gọn những biểu thức:a. A = $left( frac1cos 2x + 1 ight)$.tanx. B. B = cos8x.cot4x - $fraccot ^22x - 12cot 2x$.
a. Ta trở thành đổi: A = $frac1 + cos 2xcos 2x$.tanx = $frac2cos ^2xcos 2x$.$fracsin xcos x$= $frac2cos x.sin xcos 2x$ = $fracsin 2xcos 2x$ = tan2x.b. Ta vươn lên là đổi: B = cos8x.cot4x - $fraccos ^22x - sin ^22x2cos 2x.sin 2x$= cos8x. $fraccos 4xsin 4x$ - $fraccos 4xsin 4x$= (cos8x - 1) $fraccos 4xsin 4x$ = -2sin24x.$fraccos 4xsin 4x$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x.Nhận xét:
Như vậy, để rút gọn các biểu thức các thành phần hỗn hợp chứa sin, cos và tan, cot như trên chúng ta thường biến đổi tan, cot theo sin, cos.Thí dụ 5. Rút gọn những biểu thức:a. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + ... + sin$^2$na.b. B = $frac1sin a.sin 2a$ + $frac1sin 2a.sin 3a$ + ... + $frac1sin na.sin (n + 1)a$.
a. Ta thay đổi biểu thức về dạng:A = $frac12$(1 - cos2a) + $frac12$(1 - cos4a) + ... + $frac12$(1 - cos2na)= $fracn2$ - $frac12$(cos2a + cos4a + ... + cos2na).Xét hai trường hợp
:Trường thích hợp 1: nếu như a = kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì: cos2a = cos4a = ... = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường vừa lòng 2: trường hợp a ≠ kπ, k ∈ $mathbbZ$ thì ta tính được tổng: T = cos2a + cos4a + ... + cos2na = $fraccos (n + 1)a.sin nasin a$Từ đó, suy ra: A = $fracn2$ - $fraccos (n + 1)a.sin na2sin a$.b. Nhân cả nhị vế của biểu thức với sina, ta được:B.sina = $fracsin asin a.sin 2a$ + $fracsin asin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin asin na.sin (n + 1)a$= $fracsin (2a - a)sin a.sin 2a$ + $fracsin (3a - 2a)sin 2a.sin 3a$ + ... + $fracsin <(n + 1)a - na>sin na.sin (n + 1)a$= cota - cot2a + cot2a - cot3a + … + cotna - cot(n + 1)a= cota - cot(n + 1)a = $fracsin nasin a.sin (n + 1)a$⇔ B = $fracsin nasin ^2a.sin (n + 1)a$.Thí dụ 6.

Xem thêm: 12 Cách Xóa File Không Xóa Được File Trong Win 7, Cách Xóa File Không Xóa Được Win 7

Rút gọn biểu thức A = $frac1sin a$ + $frac1sin 2a$ + ... + $frac1sin 2^na$.
Ta có: $frac1sin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^ka - cos 2^kasin 2^ka$ = $frac1 + cos 2^kasin 2^ka$ - $fraccos 2^kasin 2^ka$= $frac2cos ^22^k - 1a2sin 2^k - 1a.cos 2^k - 1a$ - cot$^2k$a = cot2$^k-1$a - cot2$^k$a.Suy ra: A = cot$fraca2$ - cota + cota - cot2a + ... + cot$^2n-1$a - cot$^2n$a = cot$fraca2$ - cot2$^n$a.Thí dụ 7.
Rút gọn gàng biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna.
Ta có: tana = tan<(k + 1) - k>a = $frac an (k + 1)a - an ka1 + an (k + 1)a. an ka$⇔ tanka.tan(k + 1)a = $frac an (k + 1)a - an ka an a$ - 1,do đó: tana.tan2a = $frac an 2a - an a an a$ - 1; tan2a.tan3a = $frac an 3a - an 2a an a$ - 1...tan(n - 1)a.tanna = $frac an na - an (n - 1)a an a$ - 1suy ra: A = $frac an mãng cầu - an a an a$ - (n - 1) = $frac an na an a$ - n.Chú ý:
tác dụng của bài toán trên được sử dụng để đơn giản và dễ dàng biểu thức: A = $frac1cos a.cos 2a$ + $frac1cos 2a.cos 3a$ + ... + $frac1cos na.cos (n + 1)a$.Thật vậy, ví như nhân cả nhị vế của đẳng thức với cosa, ta được: B.cosa = $fraccos acos a.cos 2a$ + $fraccos acos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos acos na.cos (n + 1)a$= $fraccos (2a - a)cos a.cos 2a$ + $fraccos (3a - 2a)cos 2a.cos 3a$ + ... + $fraccos <(n + 1)a - na>cos na.cos (n + 1)a$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a= n + $frac an (n + 1)a an a$ - n - 1 = $frac an (n + 1)a an a$ - 1.Tuy nhiên, rất có thể sử dụng sina để nhấn được giải thuật độc lập.Thí dụ 8. Rút gọn gàng biểu thức A = tana + $frac12$tan$fraca2$ + ... + $frac12^n$tan$fraca2^n$.
Nhận xét rằng:cotx - tanx = $fraccos ^2x - sin ^2xsin x.cos x$ = $frac2cos 2xsin 2x$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x.Từ đó, ta có các kết quả: tana = cota - 2cot2a, $frac12$tan$fraca2$ = $frac12$cot$fraca2$ - cota,…$frac12^n$tan$fraca2^n$ = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - $frac12^n - 1$cot$fraca2^n - 1$.Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được A = $frac12^n$cot$fraca2^n$ - 2cot2a.Thí dụ 9.
Rút gọn gàng biểu thức A = $fracsqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x $, cùng với - $fracpi 4$ A = $frac(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )^2(sqrt 1 + sin 2x - sqrt 1 - sin 2x )(sqrt 1 + sin 2x + sqrt 1 - sin 2x )$= $frac1 + sin 2x + 2sqrt 1 - sin ^22x + 1 - sin 2x1 + sin 2x - 1 + sin 2x$= $frac1 + sqrt cos ^22x sin 2x$ = $fracsin 2x$$mathop = limits^{ - fracpi 4 Chú ý: tín đồ ta hoàn toàn có thể sử dụng hiệu quả của lấy một ví dụ trên để tạo ra những yêu ước khá thú vị, nhằm minh hạo ta xét đòi hỏi:“Cho t ∈ <-1; 1> và thoả mãn tanx = $fracsqrt 1 + t + sqrt 1 - t sqrt 1 + t - sqrt 1 - t $. Chứng minh rằng t = sin2x”.Trước hết: tanx = $frac(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )^2(sqrt 1 + t - sqrt 1 - t )(sqrt 1 + t + sqrt 1 - t )$ = $frac1 + sqrt 1 - t^2 t$.Mặt khác: sin2x = $frac2 an x1 + an ^2x$ = $frac2.frac1 + sqrt 1 - t^2 t1 + left( frac1 + sqrt 1 - t^2 t ight)^2$ = $frac2(1 + sqrt 1 - t^2 )t2(1 + sqrt 1 - t^2 )$ = t.Chú ý: trong những bài toán thi chúng ta thường gặp mặt phải yêu ước "Chứng minh đẳng thức lượng giác hòa bình với biến số".Thí dụ 10. chứng minh biểu thức sau không dựa vào vào x: A = cos$^2$(x - $fracpi 3$) + cos2x + cos2(x + $fracpi 3$).
Ta rất có thể lựa chọn một trong nhì cách đổi khác sau:Cách 1:
Ta đổi thay đổi:A = (cosx.cos$fracpi 3$ + sinx.sin$fracpi 3$)2 + cos2x + (cosx.cos$fracpi 3$ - sinx.sin$fracpi 3$)2= ($frac12$cosx + $fracsqrt 3 2$sinx)2 + cos2x + ($frac12$cosx - $fracsqrt 3 2$sinx)2= $frac12$cos$^2$x + $frac32$sin$^2$x + cos$^2$x = $frac32$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $frac32$.Vậy, biểu thức A không phụ thuộc vào vào x.Cách 2: Ta phát triển thành đổi:A = $frac12$<1 + cos(2x - $frac2pi 3$)> + cos2x + $frac12$<1 + cos(2x + $frac2pi 3$)>= 1 + cos2x + $frac12$= 1 + cos2x + cos2x.cos$frac2pi 3$ = 1 + cos2x - $frac12$(2cos2x - 1) = $frac32$.Thí dụ 11. xác minh a ∈ (0; $fracpi 2$) để biểu thức sau không dựa vào vào x: A = cosx + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) + cos(x + 6a).

Xem thêm: Giải Bài 1 Trang 44 Sgk Toán 9 Tập 1, Bài 1 Trang 44 Sgk Toán 9 Tập 1


Ta đổi thay đổi:A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a).Để biểu thức không dựa vào vào x điều kiện là:cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0⇔ $left< eginarrayl3a = pi - a + 2kpi \3a = - pi + a + 2kpi endarray ight.$⇔ $left< eginarrayla = fracpi 4 + frackpi 2\a = - fracpi 2 + kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^a in (0,,fracpi 2) $ a = $fracpi 4$.Vậy, với a = $fracpi 4$ biểu thức không nhờ vào vào x.
*
bạn dạng đầy đủ: những dạng toán lớp 10