Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

     

Bài viết phía dẫn cách thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi bố đường cong, đấy là dạng toán thường gặp mặt trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân với Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp vật dụng thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ dùng thị.Cách 2:+ Vẽ các đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.+ Từ vật thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị ba hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo cánh trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ đồ thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 left $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 3: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 left $ $ + int_3^6 dx $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| _0^3 ight| + left| _3^6 ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng biến đổi trên $R$ cùng $x=0$ là 1 trong những nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 3 – (1 – 2x) ight $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 5: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| _0^1 ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Tiếng Gà Gáy Báo Thức - Nhạc Chuông Gà Gáy Báo Thức

Ví dụ 6: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và các tiếp đường của $(P)$ tại những giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp tuyến đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 left $ $ + int_frac12^2 dx .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = 3x – x^2$ cùng $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 8: gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ khẳng định nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn câu trả lời C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi nhánh đường nhỏ cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, con đường thẳng $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ cùng trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ cùng $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: gọi $S$ là diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ xác minh nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$B. $S = int_0^3 x^2 – frac27x ight $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 frac27x – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 frac27x – x^2 ight .$D. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn đáp án D.

Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn đáp án C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 x^3 – 0 ight $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn câu trả lời A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Top 35 Bài Văn Tả Cảnh Đẹp Quê Hương Em Lớp 5, Tả Cảnh Đẹp Quê Hương Hay Nhất

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 4x^2 – x^2 ight $ $ + int_1^2 4 – x^2 ight = frac83.$Chọn câu trả lời A.