Tính Thể Tích Khối Lăng Trụ

     

Bài viết trình bày lý thuyết, phương pháp và những ví dụ tất cả lời giải chi tiết về cách thức tính thể tích khối lăng trụ, đó là dạng toán thường gặp mặt trong chương trình Hình học 12 chương 1.

Bạn đang xem: Tính thể tích khối lăng trụ

Phương pháp tính thể tích khối lăng trụCông thức:• Thể tích khối lăng trụ: $V = B.h$.• Thể tích khối vỏ hộp chữ nhật có các cạnh $a, b, c$: $V = abc$.• Thể tích khối lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.Để tính thể tích của khối lăng trụ ta cần đi tính chiều cao của lăng trụ và ăn mặc tích đáy.

Các tính chất của lăng trụ:a. Hình lăng trụ• Các sát bên của hình lăng trụ song song và bởi nhau.• các mặt mặt của hình lăng trụ là những hình bình hành.• Hai lòng của hình lăng trụ là hai nhiều giác cân nhau và phía trong hai phương diện phẳng tuy nhiên song với nhau.• Lăng trụ gồm các bên cạnh vuông góc hai đáy được call là lăng trụ đứng.* Các cạnh bên của lăng trụ đứng đó là đường cao của nó.* các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.• Lăng trụ đứng tất cả đáy là đa giác hầu hết được điện thoại tư vấn là lăng trụ đều. Các mặt bên của lăng trụ hầu như là những hình chữ nhật bởi nhau.b. Hình hộp: Là hình lăng trụ gồm đáy là hình bình hành:• Hình hộp đứng có các ở kề bên vuông góc cùng với đáy.• Hình hộp đứng bao gồm đáy là hình chữ nhật được hotline là hình vỏ hộp chữ nhật.• Hình vỏ hộp chữ nhật gồm ba form size bằng nhau được hotline là hình lập phương.• Đường chéo cánh của hình vỏ hộp chữ nhật tất cả ba form size $a, b, c$ là: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2.$• Đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ là $d = a sqrt 3.$

Các dạng toán thể tích khối lăng trụDạng 1: Khối lăng trụ đứng có độ cao hay cạnh đáyVí dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ bao gồm cạnh $BC = asqrt 2 $ với biết $A’B = 3a$. Tính thể tích khối lăng trụ.

*

Ta có:$Delta ABC$ vuông cân tại $A$ bắt buộc $AB = AC = a.$$ABC.A’B’C’$ là lăng trụ đứng $ Rightarrow AA’ ot AB$, do đó $Delta AA’B$ vuông tại $A$ nên: $AA‘^2 = A"B^2 – AB^2 = 8a^2$ $ Rightarrow AA’ = 2asqrt 2 .$Vậy $V = S_Delta ABC.AA’ = a^3sqrt 2 .$

Ví dụ 2: mang lại lăng trụ tứ giác đông đảo $ABCD.A’B’C’D’$ có sát bên bằng $4a$ với đường chéo $5a$. Tính thể tích khối lăng trụ này.

*

$ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng phải $ΔBDD’$ vuông tại $D$, vì chưng đó: $BD^2 = BD’^2 – DD’^2 = 9a^2$ $ Rightarrow BD = 3a.$$ABCD$ là hình vuông vắn $ Rightarrow AB = frac3asqrt 2 .$Suy ra $S_ABCD = frac9a^24.$Vậy $V = S_ABCD.AA’ = 9a^3.$

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác những cạnh $a = 4$ và biết diện tích s tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.

*

Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có:$ΔABC$ số đông nên $AI = fracABsqrt 3 2 = 2sqrt 3 $ và $AI ot BC$ $ Rightarrow A’I ot BC$ (theo định lý ba đường vuông góc).$S_A’BC = frac12BC.A’I$ $ Rightarrow A’I = frac2S_A’BCBC = 4.$$AA’ ot (ABC) Rightarrow AA’ ot AI.$$Delta A’AI$ vuông trên $A$ nên $ Rightarrow AA’ = sqrt A"I^2 – AI^2 = 2.$Vậy: $V_ABC.A’B’C’ = S_ABC.AA’ = 8sqrt 3 .$

Ví dụ 4: Cho hình vỏ hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh $a$ và có góc nhọn bởi $60°.$ Đường chéo lớn của đáy bởi đường chéo nhỏ tuổi của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp.

*

Xác định các điểm như hình vẽ.Ta bao gồm tam giác $ΔABD$ đều đề xuất $BD = a$, $S_ABCD = 2S_ABD = fraca^2sqrt 3 2.$Theo đề bài xích $BD’ = AC = 2fracasqrt 3 2 = asqrt 3 .$$Delta DD’B$ vuông trên $D$ $ Rightarrow DD’ = sqrt BD‘^2 – BD^2 = asqrt 2 .$Vậy $V = S_ABCD.DD’ = fraca^3sqrt 6 2.$

Dạng 2: Lăng trụ đứng bao gồm góc giữa mặt đường thẳng cùng mặt phẳngVí dụ 5: mang lại lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $B$ với $BA = BC = a$, biết $A’B$ phù hợp với đáy $ABC$ một góc $60°.$ Tính thể tích lăng trụ.

Xem thêm: Đại Học Thủ Đô Hà Nội Điểm Chuẩn 2019, Điểm Chuẩn Đại Học Thủ Đô Hà Nội 2021, 2020

*

Ta có $A’A ot (ABC)$ buộc phải $AB$ là hình chiếu của $A’B$ trên đáy $(ABC)$, suy ra góc $left( widehat A’B,(ABC) ight) = widehat ABA’ = 60^o.$$A’A ot AB$ nên $Delta ABA’$ vuông trên $A$ $ Rightarrow AA’ = AB. an 60^0 = asqrt 3 .$$S_ABC = frac12BA.BC = fraca^22.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = fraca^3sqrt 3 2.$Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông trên $A$ với $AC = a$, $widehat ACB = 60^o$, biết $BC’$ hợp với $(AA’C’C)$ một góc $30°$. Tính $AC’$ với thể tích lăng trụ.

*

$Delta ABC$ vuông trên $A$ $ Rightarrow AB = AC. an 60^o = asqrt 3 .$Ta có: $AB ot AC; AB ot AA’$ $ Rightarrow AB ot (AA’C’C)$ nên $AC’$ là hình chiếu của $BC’$ bên trên $(AA’C’C).$Do đó $widehat left( BC’;left( AA’C’C ight) ight) = widehat BC’A = 30°.$$Delta AC’B$ vuông tại $A$ $ Rightarrow AC’ = fracABmathop m t olimits man30^o = 3a.$$Delta AA’C’$ vuông trên $A’$ $ Rightarrow AA’ = sqrt AC’^2 – A’C’^2 = 2asqrt 2 .$$S_ABC = frac12AB.AC = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = a^3sqrt 6 .$

Ví dụ 7: đến lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ cùng đường chéo $BD’$ của lăng trụ hợp với đáy $ABCD$ một góc $30°$. Tính thể tích và tổng diên tích của những mặt mặt của lăng trụ.

*

Ta bao gồm $ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng yêu cầu $BD$ là hình chiếu của $BD’$ trên $(ABCD).$Suy ra $widehat left( BD’;left( ABCD ight) ight) = widehat DBD’ = 30^o.$$Delta BDD’$ vuông tại $D$ $ Rightarrow DD’ = BD. an 30^0 = fracasqrt 6 3.$Vậy $V = S_ABCD.DD’ = fraca^3sqrt 6 3.$$S = 4S_ADD’A’ = frac4a^2sqrt 6 3.$

Dạng 3: Lăng trụ đứng gồm góc giữa 2 phương diện phẳngVí dụ 8: mang lại lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $B$ với $BA = BC = a$, biết $(A’BC)$ phù hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°$.Tính thể tích lăng trụ.

*

Ta có: $AA’ ot (ABC) Rightarrow BC ot AA’.$Mà $BC ot AB$ nên $BC ot (ABA’).$Suy ra $BC ot A’B.$Do đó $widehat left( (A’BC),(ABC) ight) = widehat ABA’ = 60^o.$$Delta ABA’$ vuông tại $A$ nên $AA’ = AB. an 60^0 = asqrt 3 .$$S_ABC = frac12BA.BC = fraca^22.$Vậy $V = S_ABC.AA’ = fraca^3sqrt 3 2.$

Ví dụ 9: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác đều. Khía cạnh phẳng $(A’BC)$ chế tác với đáy một góc $30°$ và diện tích tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.

*

Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$$Delta ABC$ đều $ Rightarrow AI ot BC$, mà $AA’ ot (ABC)$ nên $A’I ot BC$ (định lý $3$ con đường vuông góc).Do đó: $widehat left( left( A’BC ight);left( ABC ight) ight) = widehat A’IA = 30^o.$Giả sử $BI = x$, suy ra $AI = x sqrt 3$.Ta có: $ΔA’AI$ vuông tại $A$ phải $A’I = AI.cos30° = 2x$ với $A’A = AI. an 30° = x.$$S_A’BC = BI.A’I = x.2x = 8$, suy ra $x = 2.$Vậy $V_ABC.A’B’C’ = BI.AI.A’A = 8√3 .$

Ví dụ 10: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AA’ = 2a$; mặt phẳng $(A’BC)$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc $60°$và $A’C$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc $30°$.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

*

Ta có $AA’ ot (ABCD)$, suy ra $AC$ là hình chiếu của $A’C$ bên trên $(ABCD).$Nên $widehat left( A’C,left( ABCD ight) ight) = widehat A’CA = 30^o.$$BC ot (ABB’A’)$ nên $widehat left( A’BC ight),left( ABCD ight) = widehat A’BA = 60^o.$$Delta A’AC$ vuông trên $A$ nên $AC = AA’.cot30^o = 2asqrt 3 .$$Delta A’AB$ vuông trên $A$ nên $AB = AA’.cot60^o = frac2asqrt 3 3.$$Delta ABC$ vuông tại $B$ nên $ Rightarrow BC = sqrt AC^2 – AB^2 = frac4asqrt 6 3.$Vậy: $V = AB.BC.AA’ = frac16a^3sqrt 2 3.$

Dạng 4: Khối lăng trụ xiênVí dụ 11: mang đến lăng trụ xiên tam giác $ABC.A’B’C’$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, biết ở kề bên là $asqrt 3 $ và phù hợp với đáy $ABC$ một góc $60°$. Tính thể tích lăng trụ.

Xem thêm: Lỗi Màn Hình Iphone Bị Liệt Cảm Ứng 1 Phần Và Cách Sửa Hiệu Quả

*

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C’$ lên $(ABC)$.Khi đó $widehat left( CC’,(ABC) ight) = widehat C’CH = 60^o.$$Delta CHC’$ vuông trên $H$ $ Rightarrow C’H = CC’.sin 60^0 = frac3a2.$$S_ABC = fraca^2sqrt 3 4.$Vậy $V = S_ABC.C’H = frac3a^3sqrt 3 8.$

Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ xuống $(ABC)$ là trung tâm $O$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ biết $AA’$ hợp với đáy $(ABC)$ một góc $60°.$1. Chứng tỏ rằng $BB’C’C$ là hình chữ nhật.2. Tính thể tích lăng trụ.

*

1. Ta gồm $BB’C’C$ là hình bình hành bởi là mặt bên của lăng trụ.Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, vì chưng tam giác $ΔABC$ đều cần $O ∈ AH.$Ta có: $BC ot AH$ và $BC ot A’O$ cần $BC ot (AAH)’$, vì vậy $BC ot A’A.$Mà $AA’ // BB’$, cho nên vì thế $BC ot BB’$, suy ra $BB’C’C$ là hình chữ nhật.2. $Delta ABC$ rất nhiều nên $AO = frac23AH = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$$Delta AOA’$ vuông trên $O$ $ Rightarrow A’O = AO an 60^o = a.$Vậy $V = S_ABC.A’O = fraca^3sqrt 3 4.$

Ví dụ 13: đến hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình chữ nhật cùng với $AB = sqrt 3$, $AD = sqrt 7$. Hai mặt mặt $(ABB’A’)$ cùng $(ADD’A’)$ lần lượt chế tạo với đáy đa số góc $45°$ và $60°$. Tính thể tích khối hộp giả dụ biết sát bên bằng $1.$

*

Kẻ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AB$, $HN ot AD$ (các điểm nằm trên các đường thẳng và mặt phẳng như hình vẽ).Khi đó $A’M ot AB$ và $A’N ot AD.$Suy ra: $ widehat A’MH = 45^o, widehat A’NH = 60^o.$Đặt $A’H = x$.$ΔA’HN$ vuông trên $H$ phải $A’N = x : sin 60° = frac2xsqrt 3 .$$ΔA’AN$ vuông tại $N$ nên $AN = sqrt AA‘^2 – A"N^2 = sqrt frac3 – 4x^23 .$$ΔA’MH$ vuông trên $H$ nên $HM = x.cot45^0 = x.$Vì tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật đề nghị $AN = MH$, suy ra: $sqrt frac3 – 4x^23 = x$ $ Leftrightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.A’H = 3.$